アルゴリズム：二部グラフの最大の独立したセット

最大独立集合部グラフが、また、二部グラフの非常に古典的な問題。

例

オリジナルの例

タイトル説明
二部グラフが与えられると、各ノードN、Mの数を表し、側は、電子、二部グラフマッチングをシークの最大数です。

入力フォーマット
最初の行の、N、M、E。
2つの正の整数、U、Vの（E + 1）行の第二、Uを表し、vは偶数エッジを有しています。

出力フォーマット

最初の行は、二部グラフの最大独立集合を指します。
2行目は、最大のダイバーシティ方式の出力の一つを独立して設定左点の間に、要素によって要素がスペースで区切ら。
第三のラインは、最大ダイバーシティ方式の出力の一つを独立して設定右点の間に、要素によって要素がスペースで区切ら。

サンプル入力と出力

エントリー

輸出

5
3 4
1 3 4

説明/ヒント
1 <= N、M <= 1000 1 <= E <= N * M。

二部グラフの最大独立集合

それは、多くの二部グラフ選択のポイントとして、ですが、任意の2つの選択点の間にエッジが存在しないことを確認する必要があります。私は二部グラフの最大の独立集合であるかについて話しましょう。例えば、以下のように示します。

ここに画像を挿入説明

レッドドットは最大の独立系の集中点であり、我々はこれらの点は、任意の二つの辺の間に接続されていないことがわかります。

実際には、ポイントの最大の独立系セットは、すべての点が最小点を投げたカバーということで、これはなぜですか？

最小ポイントのカバレッジのポイントがすべてのエッジをカバーするため、すなわち、いずれかのエッジがあれば、これらの点は依然として移動するように、それぞれの側にのみエンドポイントを持って、最小点を覆う点を有し、そして天然にそれが独立していますセットアップが、カバーは最小点が削除されるので、それは最大の独立系の天然セットアップしています。

だから、結論する：すべての点=最大の独立したセット - 最小頂点被覆を

O（N * M）：同一の時間複雑さについてほぼ同じを覆う最小ポイントコードとコードワード。

コード

# include <cstdio>
# include <algorithm>
# include <cmath>
# include <cstring>
# include <vector>

using namespace std;

const int N_MAX = 1000, E_MAX = 1000000;

struct Edge
{
    int to, next;
};

int n, m, e;
vector <int> g[N_MAX + 10];

int opp[N_MAX + 10];
bool vis[N_MAX + 10];

bool vx[N_MAX + 10], vy[N_MAX + 10];

void addEdge(int x, int y)
{
    g[x].push_back(y);
}

bool find(int x)
{
    if (vis[x]) return false;
    vis[x] = true;
    for (int i = 0; i < (int) g[x].size(); i++) {
        int y = g[x][i];
        if (opp[y] == 0 || find(opp[y])) {
            opp[y] = x;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

void mark(int x)
{
    if (vx[x]) return;
    vx[x] = true;
    for (int i = 0; i < (int) g[x].size(); i++) {
        int y = g[x][i];
        if (opp[y] && !vy[y]) {
            vy[y] = true;
            mark(opp[y]);
        }
    }
}

int hungary()
{
    memset(opp, 0, sizeof(opp));
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        ans += find(i);
    }
    return ans;
}

int maxIndSet()
{
    int ans = hungary();
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        vis[opp[i]] = true;
    memset(vx, false, sizeof(vx));
    memset(vy, false, sizeof(vy));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!vis[i]) mark(i);
    return n + m - ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &e);
    for (int i = 1; i <= e; i++) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        addEdge(x, y);
    }
    printf("%d\n", maxIndSet());
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (vx[i]) printf("%d ", i);
    puts("");
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        if (!vy[i]) printf("%d ", i);
    puts("");
    return 0;
}

アルゴリズム：二部グラフの最大の独立したセット

例

二部グラフの最大独立集合

コード

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