[TOC]
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＃信号と線形システムは
$直交関数セット\ longrightarrow \ mathit {F} \ longrightarrow \ mathscr {F} \ longrightarrow \ mathscr {L} \ longrightarrow \ mathscr Z $} {
## [直交関数の組（＃1 TOC）が
###（＃1 TOC）直交関数は何である]
の二つの機能上の区間$ [T_1、T_2] $ $ \ $のPSI_1の定義において言及しましたそして$ \ psi_2 $、$ \ INT_ {T1} ^ {場合 T2} \ psi_1 \ CDOT \ psi_2 ^ 満たす{\ AST} = 0 $は、2つの関数は直交関数である
直交するどのような[###機能セット（＃1 TOC）が
$ N- $関数$ \ {\ psi_1、\ psi_2有し 、\ cdots、\ psi_n \} $の関数のセットを構成するときに、この$ N- $関数である。$ \サイ$と称される$ \ $というドメイン$ [T_1、T_2] $を満たす以下の関係が、サイ$ [T_1、T_2]で$直交関数セットです。関数は$ \ Psiの$ $ \ファイ$外で発見された場合 、 その結果、$ \ INT_ {T_1} ^ { T_2} \ PHI \ CDOT \ psi_i ^ {\ AST} = 0 $、 その後$ \ $は直交関数のサイ完全なセットである。
$$
\ T_L INT_ {}} ^ {T_2 \ psi_i \ CDOT \ psi_j ^ {\ ASTは} =
\ケース{}始める
とき\ I \ \\ J NEQ、0
\ IがJ = K_I \ NEQ 0、
終了{\ケース}
$$
直交関数の完全なセットのための重要な定理**
**定理：$は\ {\ psi_i \}（関数の$ $ N-完全直交セットからなる機能のメモ iは1,2 = 。\ cdots、N）$、$ N $ある関数の線形結合で表されることができる次いで、任意の絶対積分関数$ F（t）に対する$：
$$
F（T）= \ {lim_ N- \へ\ inftyの} \ sum_ = {I} 1} ^ {N-C_I \ CDOT \ psi_i、C_I \で\ mathbb} {R＆LT
$$
仮定$ F（T）= C_1 \ psi_1 + C_2 \ psi_2 + \ cdots $、平均二乗誤差$ \イプシロン^ {2} = \ FRAC {1} {T_2 - T_1} \ INT_ {T_1} ^ {T_2}（F（T） - \ sum_ {I = 1} ^ {\ inftyの} C_I \ CDOT \ psi_i）^ 2 \ RM $ dtが最小がある：
$$
\開始マトリックス{}
\ {FRAC \部分{\イプシロン^ {2}} \部分C_J}} = {0 \ RIGHTARROW \\
- 2 \ INT_ {T_1} ^ { T_2}（F（T） - C_j \ psi_j）\ psi_j \ RM DT = -2 \ INT_ {T_1} ^ {T_2} F（t）は\ psi_j \ RM DT + 2C_j \ INT_ T_2 T_L} {^ {} \ psi_j ^ 2 = 0 \ \\ RIGHTARROW
C_J = \ FRAC {\ T_L INT_ {}} ^ {T_2 F（T）\ psi_j \ RM DT} {\} ^ {T_L INT_ {T_2 } \ psi_j ^ 2 \ RM DT}
\}終了{マトリックス
$$
別平均二乗誤差方程式がある：$ \ INT_ {T_1} ^ {T_2} F ^ 2（t）は\ RM DT = \ sum_ {i = 1} ^ {\ inftyの} | \ INT_ {T_1} ^ {T_2 } | C_I \ psi_i | ^ 2 \ $ DT RM。
###（TOC位）直交関数の共通の完全なセット]
-設定三角関数：
$$
{1、\ COS {\オメガT} \、\ cdots、 \ COS {M \オメガT} 、\ cdots、\罪{\オメガT}、\ cdots、\罪{N \オメガT}、\ cdots \}、[T_0、T_0 + T]におけるT \、T = \ FRAC {2 \ PI} {\オメガ}
$$
-セット指数関数：
$$
{{E ^ JN \オメガ}} T、T \ {T_0で、T_0 + T}、T = \ {2 FRAC \ PI {} \}オメガ、N- = 0、\ PM 1、\ 2 PM、\ cdots。
$$
-その他、例えばルジャンドル多項式、エルミート多項式、Laguerrel多項式もそれが表示されていない、ほとんど使用されない、複雑として;
## [フーリエ級数$ \ mathit {F} $に対して直交関数セットから] （＃1 TOC）
、$ Tの周期で、周期関数$ F（t）は$を想定\オメガ= \ FRACを {2 \ PI } $である{T} $、 - [\ FRAC {T} {2}、\ FRAC {T} {2}] $ 次のように三角関数を用いて、絶対積分は、その完全な直交展開を設定します。
$$
F（T）= C_0 + \ sum_ {N = 1} ^ {\ inftyの} A_N \ COS {N \オメガT} + \ sum_ {N = 1} ^ \罪B_N {\ inftyの} {N \オメガT}
$$
（T）F $、\ psi_iの $ $ C_j $に、係数が得られた：
$$
\ケース開始{}
A_N = \ FRAC {2}、{T} \ {INT _ - \ {T} {2 FRAC }} ^ {\ FRAC {T} {2}} F（T）\ COS {N- \オメガT} \ RM DT \\
B_N = \ FRAC {2}、{T} \ INT _ { - \ FRAC {T} { 2}} ^ {\ FRAC {T} {2}} F（T）\のSiN {N- \オメガT} \ RM DT \\
C_0 = \ FRAC {1}、{T} \ INT _ { - \ FRAC {T} {2}} ^ {\ FRAC} {2}、{T} F（T）\ RM DT = \ FRAC A_0} {2} {
\ケースエンド{}
$$
上記三角関数のフーリエ級数の形でありますフーリエ係数と呼ばれ、$ A_N、B_N $。
として、以下、オイラーの公式、三角正式な指数形式でオン：
$$
\開始マトリックス{}
F（T）= \ {2} {FRAC A_0 } + \ sum_ {N = 1 } ^ {\ inftyのA_N} \のcos {（N \オメガT + \ theta_n）} \ RIGHTARROW \\
F（T）= \ FRAC { A_0} {2} + \ FRAC {A_N} {2} \ sum_ {N = 1} ^ {\ inftyの}（E ^ {JN \オメガT} E ^ {J \ theta_n} E ^ {+ - JN \オメガT ^ {E} - J \ theta_n}）\ RIGHTARROW \\
F（T）= \ {N-sum_ = - \ inftyの} ^ {\ inftyの} \ FRAC 1} {2} {。 E {J ^ A_N \ theta_n} E {^ JN \オメガT}
\}終了{マトリックスは
$$
上記フーリエ係数は、$ $ F_n呼ばれる指数フーリエ級数であり、さらに簡略化があります以下の形式：
$$
\整列} {始める
F_n＆= \ FRAC 1} {2} {（A_N \ COS {\ + jA_n theta_n。} \ {SiNから\ theta_n}）\\
＆= \ FRAC 1} {2} {（。 A_N - jb_n）\\
＆= \ FRAC {1}、{T} \ INT _ { - \ FRAC {T} {2}} ^ {\ FRAC {T} {2}}（F（T）\ COS {N- \オメガT} - JF（T）\のSiN {N- \オメガT}）\ mathrm {DT} \\
＆= \ FRAC {1}、{T} \ INT _ { - \ FRAC {T} {2}} ^ {\ {T} {2 FRAC}} F（T）E ^ { - JN \オメガT} \} {DT RM
\整列端が{}
$$
要約：次のように正の指数関数の逆フーリエ変換系列をまとめます。
$$
\ケース} {始まります
F（T）= \ sum_ {N- = - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F_n E ^ {JN \オメガT} \\
F_n = \ FRAC {1}、{T} \ INT _ { - \ FRAC {T} { }} ^ {2 \ FRAC} {2}、{T} F（T）E ^ { - JN \オメガT} \ {RMのDT}
\}終了{ケース
$$
FUに対するフーリエ級数から## [ \ mathit {F} \に$をフーリエ変換 \ mathscr {F} $（＃1 TOC）
である非周期絶対積分関数$ F（T）$、$ T \へ\ inftyの$ので、$ \オメガ\ 0 $ 0 $に、このとき$ F_n \に、すなわち、周波数成分の振幅は、この場合には0になる傾向がある、$ F（t）は、元のタイム$さt $値で$離散周波数ポイント重畳された有限の値$の$ F_n無限の数は、連続した重畳周波数の無限複数$ 0 $ F_nになる傾向となる周波数特性関数の分析に助長されていません0に傾向各周波数ポイントで（大きさを理解し、 Geshaが）機能を見ていない、私たちは私たちで$ F（T）$の周波数特性を理解するための他の方法を見つける必要があります。
$ F_n $式は$ $ $ F $ F_nを見ることができますから、一次微小量です、すなわち、$ \ lim_ {\へ\ F FRAC {F_n} {F} $は\ inftyの} $ \ lim_ {\へ\ F、物理的に一定の密度概念類似である inftyの} \ FRAC {F_n} {F} $ スペクトル密度と呼ばれる。したがって、我々は、$ F（t）はスペクトル特性の$を分析するために継続する方法を見つける必要があり、すなわち機能 フーリエ変換* Tucaoである各周波数ポイントでのスペクトルの強度は、：動きが絶対残りの部分は、相対的なものが密接に関連して、相互に関連されており、時には我々は片側から知ってもらいます私たちは遠く見知らぬもの/オブジェクト/知識に住んでハードにそれを見つけたとき、おそらく別の角度は、よりリラックスした反対側の感触から、それを確認してください。私たちは瞑想の心の中にしばしばであることを、「位置のあなたがたの変更は「ナ考えるようにダウントランスポーズすることはできません！ !! *
以下のように上記の分析に基づいて、フーリエ変換派生します：
$$
\整列開始{}
\ mathscr F.} {[F（T）] =＆F. [J \オメガ] = \ lim_ {T \へ\ inftyの} \ {FRAC F_n} {F}、（N = 0、 \ PM1、\ cdotsは全ての周波数をカバーする）\\
＆= \ lim_ {T \ inftyの\へ} \ INT _ { - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F（T）E ^ { - JN \オメガT} \ RM DT} \\ {
＆= \ INT _ { - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F（T）E ^ { - J \ Tオメガ} \ \\ RM {DT}
N = 0、\ PM1、\ cdots、 \ lim_ {T \へ\ inftyの } N \オメガ= \オメガ、 すなわち離散周波数ポイントとなる連続周波数\\
\\
F（T）=＆\ lim_ {T \へ\ inftyの} \ {N-sum_ = - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F_nTe ^ {JN \オメガT} \ FRAC {\オメガ} {2 \ PI} \\
＆= \ FRAC {1} {2 \ PI} \ INT _ { - \ inftyの} ^ {\ } F.のinftyの（J \オメガ）^ E {J \ Tオメガ} \ {RM D \オメガ}
\整列終了{}
$$
要約で、$（T）F $ Nフーリエ逆変換は以下のように変換：
$ $
\開始{ケース}
\ mathscr {F.} [F（T）] = \ INT _ { - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F（T）E ^ { - J \オメガT} \ RM {DT} \\
F（T）= \ FRAC {1} {2 \ PI} \ INT _ { - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F.（J \オメガ）E ^ {J \オメガT} \ RM {D \オメガ}
\エンドケース} {
$$
### [フーリエ係数とフーリエ関係を変換]（＃1 TOC）
$$
\整列開始{}
＆F_n = \ FRAC 1}、{T} {\ INT _ { - \ {FRAC T} {2}} ^ {\ FRAC {T} {2}} F_0（T）E ^ { - JN \オメガT} \ RM {DT} \\
＆F_0（J \オメガ）= \ INT _ { - \ {T} {2 FRAC} ^ {} \ FRAC} {2}、{T} F_0（T）E ^ { - J \ Tオメガ} \ {RM DT} \\
\整列終了{}
$$
比較式。利用可能な、F_n $ = \ FRAC 1}、{T} {F_0（J \オメガ）|。_ {\ = N-オメガ\オメガ} $
## [フーリエラプラス変換から$ \ mathscr {F}変換\ \ mathscr {L} $] （＃1 TOC）
$ E ^乗じたいくつかの機能{ - J \オメガ T} $ の定義のそのドメインが可積分ではありません（例：$電子^ {\アルファトン } \イプシロン（T） $）、すなわちフーリエこのような問題を解決するために、存在しない関数の変換、指数関数的減衰係数の$ E ^の導入{ - \デルタtは } $ フーリエ変換か、取得ラプラス次のように変換プロセスである：
$$
\ {}開始整列します
＆\ Mathscr {F} [F （t）とE ^ { - \デルタT}] = \ INT _ { - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F（t）とE ^ { - （\デルタ+ J \オメガ）T } \ RM {DT} \\
＆F（T）E ^ { - \デルタT} = \ FRAC {1} {2 \ PI} \ INT _ { - \ inftyの} ^ {\ inftyの} \ mathscr {F.} [ F（t）とE ^ { - \デルタT}] E ^ {J \オメガT} \ RM {D \オメガ} \ RIGHTARROW F（T）= \ FRAC {1} {2 \ PI} \ INT _ { - \ inftyの} ^ {\ inftyの} \ mathscr {F.} [F（T）E ^ { - \デルタT}] Eは、^ {（\デルタ+ J \オメガ）T} \ RM {D \オメガ}
\終了{整列}
$$
ので、$ S = \デルタ+ \オメガ $、 ラプラス変換のために利用できる：
$$
\ {開始}整列
＆\ mathscr {L} [F（T）] = F（S）= \ INT_ { - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F（T）E ^ { - ST} \ RM {DT} \\
＆F（T）= \ FRAC {1} {2 \ PI J} \ INT _ { - \ inftyの^ {} \} inftyのF（S）ST E ^ {} \ {DS} RM
\整列終了{}
$$
## [ラプラスz変換に$ \ mathscr {L} \から変換 mathscr {Z}を\ $]（＃1 TOC）
、その存在ラプラス$ F（複数可）を変換$連続関数$ F（t）を気に$、T、次のように数式間隔のサンプリングの今周期毎：
$$
\ {整列}開始
F_S（T）= \ sum_ {N = - \ inftyの}＆^ {\ inftyの} F（t）は\デルタ（T-NT）= \ sum_ {N = - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F（NT）\デルタ（T-NT）\\
＆\ mathscr {L} [F_S（T）] = \ INT _ { - \ inftyの} ^ {\ inftyの}（\ sum_ {N = - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F（NT）\デルタ（T-NT））E ^ { - ST} \ RM {DT} \\
＆= \ sum_ {N = - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F（NT）E ^ { - SNT}
\端{整列}
$$
令$ Z = E ^ {ST} $、得到$ \ mathscr {Z} $变换为：
$$
\ mathscr {F（K）} = \ sum_ {k = - \ inftyの} ^ {\ inftyの} F（k）は、Z ^ { - K}
$$
其中$ Z = E ^ {ST} = \ FRAC {E ^ {ST / 2}} {E ^ { - ST / 2 }} \約\ FRAC {1 + ST / 2} {1-ST / 2} $、证如下：
$$
\整列{開始}
\＆ためS = \ FRAC {1}、{T} \ LN {Z} \\
＆\したがって、S = \ FRAC {2}、{T} [\ FRAC {Z-1} {Z + 1} + \ FRAC {1}、{3}（\ FRAC {Z-1} {Z + 1} ）^ 3 + \ FRAC {1} {5}（\ FRAC {Z-1} {Z + 1}）^ 5 + \ cdots] \約\ FRAC {2}、{T}（\ FRAC {1-Z ^ {-1}} {1 + Z ^ { - 1}}）
\端{整列}
$$