非線形システムの線形化とテイラー級数

線形システムと非線形システムの違い類似した用語の違いを比較する

論文を読んでいるとよく線形系と非線形系という二つの系が出てきますが、両者の違いは何なのでしょうか？

線形とは、量間の比例的および直線的な関係を指し、空間と時間における規則的で滑らかな動きを表し、非線形とは、不規則な動きや突然の変化を表す非比例および非線形の関係を指します。

線形系かどうかの判断は、主に重ね合わせの原理（Superposition）に依存します！

この系の方程式は $\dot x = f(x)です。$ $x_1,x_2$ の場合 $バツ、バツ$ は方程式の解です。 $x_3 = k_1 x_1 + k_2 x_2(k_1,k_2 \in \R)$ 、および $x_3$ が方程式の解でもある場合、システムは重ね合わせの原理に従い、線形システムになります。

例:
$\ddot x + 2 \dot x + \sqrt{2} x = 0 (線形系) \\ \ddot x + 2 \dot x + \sqrt{2} x ^ 2 = 0 (非線形系) \\ \ddot x + 2 sin(\dot x) + \sqrt{2} x = 0 (非線形システム) \\$

線形化法

泰勒级数（テイラー級数）
$f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1 !}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2 !}( x-x_0)^2 + ...+\frac{f^{n}(x_0)}{n !}(x-x_0)^n$
x $x-x_0 \to 0$ ，则 $(x-x_0)^2 \to 0$ ，则 $(x-x_0)^n \to 0$ f ( x ) = f ( x 0 ) $+ f$ $f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) =k_2x+b$ ，其中 $k_2 = f'(x_0),b = f(x_0) - f'(x_0)x_0$ 。

線形化は、グローバルな線形化ではなく、特定の点を中心とした線形化です。

一次元系の例

$\ddot x + \dot x + \frac{1}{x} = 1$

平衡点 (固定点) を中心に線形化します。
$\ddot x = \dot x = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x_0 = 1$
なので平衡点は $x_0 = 1$ . $x_0$ で $バツ$ x付近 $x_{\delta} = x_0 + x_d$ ，所謂
$\ddot x_{\delta} + \dot x_{\delta} + \frac{1}{x_{\delta} } = 1$
上記のテイラー級数を使用して、まず $\frac{1}{x_\delta}$
$f(x_{\delta}) = f(x_{0}) + f'(x_0)(x_{ \デルタ}-x_0)$

$\frac{1}{x_\delta} = \frac{1} {x_0} + (-\frac{1}{x_0^2})(x_\delta - x_0) = \frac{1}{x_0} -\frac{x_d}{x_0^2} = 1-x_d$

$\begin{cases} \ddot x_{\delta} = \ddot x_{0} + \ddot x_{d} \\ \dot x_{\delta} = \ dot x_{0} + \dot x_{d} \\ \frac{1}{x_{\delta}} = 1 - x_d \\ \end{cases} \Rightarrow \ddot x_{0} + \ddot x_{ d} + \dot x_{0} + \dot x_{d} + 1 - x_d = 1 \Rightarrow \ddot x_{d} + \dot x_{d} - x_d = 0$

2D システムなど

2D 空間内、平衡点付近

$\begin{cases} \dot x_1 = f_1 (x_1,x_2) \\ \dot x_2 = f_2 (x_1,x_2) \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{bmatrix} \dot x_{1d} \\ \dot x_{2d} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{x_1} & \frac {\partial f_1}{x_2} \\ \frac{\partial f_2}{x_1} & \frac{\partial f_2}{x_2} \\ \end{bmatrix} _ {x = x_0} \begin{bmatrix} x_ {1d} \\ x_{2d} \end{bmatrix}$

$\ddot x + \dot x + \frac{1}{x} = 1$

$x_1 = x,x_2 = \dot x と$ します。 $バツ = \times 、バツ = \overset{バツ}{˙}$ ，それは持っています

$\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = \ddot x = 1- \dot x - \frac{1}{x} = 1- x_2 - \frac{1}{x_1} \end{件}$

$\dot x_1 = 0,\dot x_2 = 0 として$ 平衡点を見つけます。 $\overset{バツ}{˙} = 0 、 \overset{バツ}{˙} = 0$ の場合、平衡点 $x_{10} = 1,x_{20} = 0 に$ 、

$\begin {bmatrix} \dot x_{1d} \\ \dot x_{2d} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -(-\frac{1}{x_1^2}) & -1 \\ \end{bmatrix} _ {x_0} \begin{bmatrix} x_{1d} \\ x_{2d} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1d} \\ x_{2d} \end{bmatrix}$
即
$\begin{cases} \dot x_{1d} = x_{2d} \\ \dot x_{2d} = x_{1d } - x_{2d} \end{件}$
実際には、下の部分だけが必要です
$\dot x_{2d} = x_{ 1d} - x_{2d} \Rightarrow \ddot x_d = x_d - \dot x_d \Rightarrow \ddot x_d + \dot x_d - x_d = 0$
は上記の 1 次元系の方程式と同じです。

要約する

線形化の公式、 $x-x_0 \to 0$
$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$