Chapter10.1: 非線形システムの概要

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ブログ参考書: 「MATLAB/Simulink と制御システムのシミュレーション」。

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1. 非線形システムの概要

1.1 非線形システムの特徴

線形システムの重要な特徴: 線形重ね合わせの原理を適用できます; 重ね合わせの原理を非線形システムに適用できません; 重ね合わせの原理を適用できるかどうかは、2 つのタイプのシステムの本質的な違いです;

非線形システムの運動には、主に次の特徴があります。

1. 安定性解析は複雑です

   線形システムの場合、平衡状態は 1 つだけです$y=0$、線形システムの安定性は平衡状態の安定性であり、システム自体の構造とパラメーターにのみ依存し、外部効果と初期条件とは何の関係もありません。

   非線形システムの場合、システム内に複数の平衡状態が存在する可能性があり、各平衡状態は安定または不安定である可能性があり、初期条件が異なり、自由運動の安定性も異なり、平衡状態の安定性はそれだけではありませんシステムの構造と構造に関連するパラメータであり、システムの初期条件と直接関係があります。

2. 自励発振の可能性あり

   自励振動: 自励振動とも呼ばれる、外部周期変化信号がない場合にシステムで生成される固定振幅と周波数の安定した周期運動を指しますが、外部周期信号がない場合の線形システムの周期運動です。変化信号 システム出力が外乱から逸脱すると、線形システムによって生成される周期運動が変化し、周期運動を維持できないため、自励振動ではありません。

3. 周波数応答が歪んでいる

   安定した線形システムの周波数応答、つまり、正弦波信号の作用下での定常状態出力は、入力と同じ周波数の正弦波信号であり、その振幅は AA です$A$と位相$\phi$は入力正弦波信号周波数$\omega$の関数

   入力と同じ周波数の正弦波信号成分 (基本周波数成分) に加えて、非線形システムの周波数応答には約$\omega$の高次高調波成分は、システム波形の非線形歪みを引き起こします; システムが多値の非線形リンクを含む場合、出力の各高調波成分の振幅もジャンプする可能性があります。

1.2 非線形システムの解析と設計法

1. 位相面法

   位相平面法は、位相平面上に位相軌跡曲線を描くことにより、異なる初期条件の下での非線形微分方程式の解の運動形態を求める時間領域解析法を普及させたグラフィカルな解析方法です。1 次および 2 次システムにのみ適用されます。

2. 記述関数法

   記述関数法は、周波数領域解析法と非線形特性の高調波線形化に基づくグラフィカルな解析方法です。構造要件を満たす非線形システムのクラスでは、非線形特性は次のように近似的に表現されます。複素可変ゲイン リンク、および次に、周波数法の適用を普及させて、非線形システムの安定性または自励振動を分析します。

3. 逆システム法

   逆システム法は、内側ループの非線形フィードバック制御を使用して疑似線形システムを形成し、それに基づいて外側ループ制御ネットワークを設計します。

1.3 非線形特性の等価利得

非線形特性を次のように表すとします。
$$y=f\left(x\right)$$
は非線形特性をリンクと見なし、リンクの入力は$x$、出力は$y$、非線形リンク出力$y$を入力し、 xxを入力します$x$の比率は等価ゲインです:
$$k=\frac{}{バツ}=\frac{f(x}{バツ}$$
比例リンクのゲインは一定値であり、出力と入力は線形関係にあり、非線形リンクの等価ゲインは可変ゲインであるため、非線形特性は可変ゲイン比例リンクと見なすことができます。

• リレー特性：リレー、コンタクタ、サイリスタなどの電気部品の特性は、通常、リレー特性として示され、$x\; が$ゼロになる傾向がある場合、等価ゲインは無限大になる傾向があります; 出力yy∣ x ∣ |x|$の場合、\; y$の大きさは一定のままです。$|x|$が増加すると、等価ゲインは減少します。$|x|\; が$無限大になる傾向がある場合、等価ゲインはゼロになる傾向があります。

• デッド ゾーンの特性:デッド ゾーンの特性は、一般に、測定要素、増幅要素、およびアクチュエータ機構の不感領域によって引き起こされます; $|\times |<\Delta$の場合$k=0$，$k$は∣ x ∣ |x|です$|x|$増加関数、および$|x|\; は$無限大になる傾向がある、$k\; は$k 0になる傾向がある$k_{}$；

• 飽和特性:アンプおよびアクチュエータは、電源電圧または電力によって制限され、飽和を引き起こします; $|\times |\le a$、出力$y$と入力$x$は直線的に変化し、等価ゲイン$k=k_{}$；当$|\times |>a$の場合、出力ボリューム$k$は∣ x ∣ |x|です$|x|$減少関数 ∣$|x|\; は$無限大になり、ゼロになる傾向があります。

• ギャップ特性:ギアおよびタービン シャフトの機械加工および組み立てエラーまたはヒステリシス効果が、ギャップ特性の形成の主な理由です。

  ギャップ プロパティは非一価関数です:
  y = { k 0 ( x − b ) , x˙ > 0 , x > − ( a − 2 b ) k 0 ( a − b ) , x˙ < 0 , x > ( a − 2 b ) k 0 ( x + b ) 、 x˙ < 0 、 x < ( a − 2 b ) k 0 ( − a + b ) 、 x˙ > 0 、 x < − ( a − 2 b ) y= \begin{cases} k_0(xb),&\dot{x}>0,x>-(a-2b)\\ k_0(ab),&\dot{x}<0,x>(a- 2b) \\ k_0(x+b),&\dot{x}<0,x<(a-2b)\\ k_0(-a+b),&\dot{x}>0,x<-( a- 2b) \end{ケース}y=⎩ ⎨ ⎧k0( ×−b ) 、k0( _−b ) 、k0( ×+b ) 、k0( − a+b )、バツ˙>0 、バツ>− ( _−2b ) _バツ˙<0 、バツ>( _−2b ) _バツ˙<0 、バツ<( _−2b ) _バツ˙>0 、バツ<− ( _−2b ) .

• 摩擦特性：摩擦特性は、機械的な伝達機構によく見られる非線形特性で、図では${ふ}_{}$オブジェクトが移動するときに克服する必要があるのは静止摩擦力であり、システムが動き始めると動摩擦力${ふ}_{}$; 摩擦力の 3 番目の種類は粘性摩擦力であり、物体の運動の滑り面の相対速度に比例します。

1.4 SIMULINK の非線形モジュール

$SIMULINK$の不連続なシステム ブロック ライブラリ$\left(不連続\right)$は12 12を提供します$12\; の$一般的に使用される標準的な非線形モジュール:

• $バックラッシュ$: バックラッシュの非線形性;
• $Coulomb\&ViscousFriction$ : クーロンおよび粘性摩擦の非線形性。
• $デッドゾーン$: デッド ゾーンは非線形です。
• $DeadZoneDynamic$ : 動的なデッド ゾーンの非線形性。
• $ヒットクロッシング$: ヒット ノンリニア;
• $Quantizer$ : 非線形性を量子化します。
• $RateLimiter$ : 比例限界の非線形性;
• $RateLimiterDynamic$ : 動的比例制限の非線形性。
• $リレー$: リレーの非線形性。
• $彩度$: 彩度の非線形性。
• $SaturationDynamic$ : 動的飽和非線形性;
• $WrapToZero$ : リング ゼロの非線形性。

1.5 実戦

実験的要件: $SIMULINK$タイプ、 1 1の振幅を使用$1$の正弦波信号は、0.5 0.5のリミッターに直接作用します。$0.5$デッド ゾーンの非線形モジュールで、その出力を見つけて入力信号と比較します。

ほどく:

【$SIMULINK$モデル】

【$SIMULINK$結果】