1.継続的な合理的なシステム
1.1システムの機能
多くの物理的なモデル系は、式（1）のように表すことができる線形常微分方程式は、それが明確LITシステムです。後で見られる、このようなシステムは簡単ですが、複雑なニーズを満たすために。（X（t）は、こと、システムの観点から、\ノート \ Y（t））を入力し、出力される;しかし、\（T \）は変数、\た斜視式から（X（T）\ ） \、の関数として決定（Y（T）\ ） 解決すべき変数です。\（Z_0が\）\（\ sum_ {k = 0である場合、我々は、（ODEレビュー）、特別なソリューション\によってこの式（Y_0（T）\）と均一な溶液組成物（式（2）を知っています } ^ N b_kz ^ K = 0 \ ） 次に\（R＆LT \）複数のルート、\（E ^ {z_0t}、 TE ^ {z_0t}、\ cdots、T ^ {R-1} E ^ {z_0t} \） されていますそれは）均一溶液です。これは、システムの無限の数を表すことができソリューションの無限の数があります。
\ [\ sum_ {k = 0} ^ ma_kx ^ {（K）}（T）= \ sum_ {k = 0} ^ nb_ky ^ {（K）}（T）\タグ{1} \]
\ [Y（T）= Y_0（T）+ \ sum_ {I = 1} ^ nc_ie_i（T）、\; \; \ sum_ {k = 0} ^ nb_ke_i ^ {（K）}（T）= 0 \タグ{2} \]
しかし、実際にシステムがしばしば役立つオリジナル張力が加わっていない状態を、（T <T_0 \）\（時間\場合は X（T）= 0 \）、 次いで\（T <T_0 \）と時間（\ Y（T）= 0 \）。実際には、この条件は因果システムを意味し、そして（Y ^ {（N）}から成る （T）\） （全ての式及び非特異）\、（\ Y（T））\見出さ満たす境界条件の存在下で\（Y（T_0）= y'_t （T_0）= \ cdots = y_t ^ {（N-1）}（T_0）= 0 \）、 唯一の解決策は、式（2）の境界条件を決定することであってもよいです。満足式（1）及び初期緩和システムが、以下はその特性の解析であり、のみと考えることができます。あなたは単位系にインパルス応答を知りたい場合は、必要性（X（T）= \ \にデルタ（T）\） 式に、しかし、特異な機能を解決することは非常に困難です。
システム機能かどうかを確認するために一時的に利用できない時間領域分析は、以下のステアリング\（S \）ドメイン（周波数ドメイン）\（H（S）\） 。注\（X（t）は、Y （T）\） \（S \）領域係数\である（X（S）、Y （S）\）、 差動特性の計算式（1）\（Sに従って\ ）ドメイン係数は、分数の実領域である式のシステム関数（3）を終えた後、そのようなシステムが呼び出され、合理的なシステム。私たちは、その端数を分数ために分解することができ、ROCと組み合わせて二次端数の合計は、システムの単位インパルス応答を知ることができるようになります知っています。全く定義された初期のスラックが存在しない場合しかし、分別システムを一意に決定することができません。
\ [H（S）= \ dfrac {Y（S）}、{X（H）} = \ dfrac {\ sum_ {k = 0} ^ ^ KS ^ kの場合} {\ sum_ {k = 0} ^ NB ^ KS ^ K} \タグ{3} \]
それは分母のルートに収束してはいけません（0 \）意味のない、ので、分母\時間の分数は、分数の値が呼ばれるポール。実際には、それは（分数分解を使用して）複雑な引数で知られ、ポールROCは、自然境界の合理的なシステムです。具体的には、合理的なROC因果システムは、右の平面であり、そして右のROC合理的なシステムへの飛行機は因果ことにバインドされています。合理的な因果システムのための必要十分条件は安定している、ある：すべての実数極が負です。
1.2次、二次システム
ここで一次の簡潔な議論、二階微分方程式因果システム\（b_0y（T）+ b_1y '（T）+ b_2y'「（T）= X（T）\）を表しています。議論を簡単にするために、システムのゲインは、（Y（T）\）の係数\（1 \）、その後、周波数ドメイン延伸\（Y ''（t）は（1 / B_0 \）は、そのような\ \最初に低減されます係数\）または\（Y「（T）\）は、（1 \）\に。式のように得られた標準的な式（4）標準システムは、最初の特徴の議論、および元のシステムの周波数領域スケーリングの影響を考慮することができる、（唯一の安定化システムを考慮すると、それは最高度係数が正です）。
\ [Y '（T）+ Y（T）= X（T）; \; \; Y' '（T）+2 \ゼータY'（T）+ Y（T）= X（T）\タグ{ 4} \]
一次システムを見て、その周波数応答（\ \ dfrac {1} { 1 + J \オメガ} \）、 単位インパルス応答\（E ^ { - } T U（T）\）。- （10 \ LOG_ {10デシベル（図上記a）は\のボード線図である }（1+ \オメガ^ 2）\）、 \（\オメガ\ 0 \まで ） の時間（0 \になる傾向があります\）、\（\オメガ\時間\ inftyのは\）傾向がある場合に\（ - 20 \ LOG_ {10 } \オメガ\）。対数スケールで彼らは、交差点（\ \オメガ= 1 \）と呼ばれる点直線であるコーナー周波数、3デシベルの元の値の最大偏差。ボード線図における位相シフトは、傾向に\（0 \）場合（\オメガ\ 0〜\）\の傾向がある場合（に\オメガ\ \ inftyの\ ） 場合\ \（ - \ PI / 2 \）、 （[0.1,10]オメガ\ \中に \） \近似直線を有しています。この例では、ボード線図の利点を具体化します。
スペクトル応答である二次システム、\（\ dfrac {1} {見える （J \オメガ）^ 2 + 2 \ゼータ（J \オメガ）+1} \） だけでなく、ローパスフィルタ近似、独自の議論をボード線図の性質。\（\ゼータ> 0 \）が呼び出され、減衰係数 \それはとして知られている、二つの第一注文及びシステムに分割することができる場合、（\ゼータ> 1 \）過剰減衰ました。場合\（\ゼータ<1 \）一般的な二次システム、それが単位インパルス応答と（正弦関数を含む）過剰な変動を有することフロントノウハウが、呼び出されたときに弱減衰の。\（\ゼータ= 1 \）と呼ばれる二次システム、ときに臨界減衰は、それが過減衰システムより速い応答速度、及び劣らず揮発性および過剰減衰システムを有しています。
2.離散合理的なシステム
2.1システムの機能
離散信号は、通常の式（5）のように表現される同様の合理的システム、有する定係数微分方程式が、それはまた、LITシステムです。\（Z_0が\）（\ sum_ {k = 0 \であれば、この方程式を解くことが、特別な均質の線形及び時間溶液の溶液と、（式（6））のように表すことができる } ^ Nb_kz ^ {Nkと} = 0 \） \（R＆LT \）根の重量、\（Z_0 ^ N、nz_0 ^ N、\ cdots、N ^ {R-1} N \ Z_0 ^） 均一な溶液です。システムはまた、満足実原張力が加わっていない状態：もし\（N <N_0 \）\ （X [N] = 0 \）、 次いで\（N <N_0 \）\ （Y [N] = 0 \） 。式（5）として見ることができるので、システムの因果関係を確保するため、および固有の出力信号を決定するために初期のスラック再帰式 \（Y [N] = \ cdots \）。\（N = 0 \）非再帰方程式は、時間直接書き込み単位インパルス応答できる場合（式（7）インパルス応答の蓄積）有限インパルス応答（FIR）であるシステム。
\ [\ Sum_ {K = 0} ^ Ma_kx [NK] = \ sum_ {k = 0} ^ Nb_ky [NK] \ {5} \]
\ [Y [N] = Y_0 [N] + \ sum_ {i = 1} ^ nc_ie_i [n]は、\; \; \ sum_ {k = 0} ^ nb_ke_i [NK] = 0 \ {6} \]
\ [Y [N] = \ sum_ {k = 0} ^ Ma_kx [NK] \; \ RIGHTARROW \; H [N] = A_N、\;（0 \ leqslant N \ leqslant M）\タグ{7} \]
\分数 - シフト特性を利用次LTは、式（8）のシステム機能を得ることが困難であり、それはまだ（{1} \ Z ^）で見ることができます。分数極多項式は（\ sum_ {k = 0} ^ Nb_kz ^ {Nkを} \）ルート\実際には、システムは、ROC極が合理自然境界であることを証明することができます。具体的には、因果合理的システムは、円の外側ROCの領域であり、ROCの領域の外側の円は、合理的システム原因であることがバインドされています。合理的な因果システムが安定して十分な条件がありますされます：すべての極が単位円内にあります。これらの特性は、連続的なシステムに対応します。
\ [H（Z）= \ dfrac {Y（Z）}、{X（Z）} = \ dfrac {\ sum_ {k = 0} ^ Ma_kz ^ { - K}} {\ sum_ {k = 0} ^ Nb_kz ^ { - K} \ {8} \]
システム関数と、それは第一、第二及び複数のシステムに分解することができ、単位インパルス応答を得ることもできます。また、記載の\（\デルタ[N-N_0 ] \オーバー{Z} {\ leftrightarrow} Z ^ { - N_0} \） 放置されているシステムは、式（9）の関数として書くことができれば、見ることができ、インパルス応答を直接書き込むことができクリック（式（9）右）。バック式（7）の参照テイラー級数により、式（9）の左形態を得ることができる（合理的なシステムは、限定されない）他のシステム機能のための別の説明があります。
\ [H（S）= \ sum_ {K \ \ BBBにおける{Z}} a_kz ^ { - K} \; \; \ RIGHTARROW \; \; H [N] = A_N \タグ{9} \]
2.2第一、第二のシステム
今一次の簡潔な議論は、システムは、スケールは周波数ドメイン連続方式とは異なるので、差分方程式を表し、標準タイプ\（B_0 \）統一\（1 \）。\に応答して一次システムの周波数（式（10））（\ dfrac {1} {1-AE ^ { - J \オメガ}} \）、単位インパルス応答\（^ NU [N] \）（ | | <1 \）場合にのみ\（0 <、）安定的な因果システムを議論します。\（A> 0 \）ローパスフィルタの性能低濃度時に、\（1 \ \）\（<0 \）ハイパスフィルタの性能、それは衝撃があり、過剰。
\ [Y [n]はAY [N-1] = X [N] \タグ{10} \]
また、第2次差分ローパスフィルタ、\（1 \のR \）である\（0 <R <1.0 \ leqslant \シータ\ leqslant \ PI / 2 \）、標準的な式（11）に低濃度。ここでのみ、安定な因果システムを議論する（2つの1次系の和に分解することができる）減衰システムを説明しません。場合（\シータ> 0 \）\、システムの単位インパルス応答は、アンダーダンピングシステムである式（12）であり、過度の衝撃（\（\シータ\へ\ボラティリティが\ / 2、πの間に増加）がある場合しかし、狭い遷移ゾーン）。場合\（\シータ= 0 \）、システムの単位インパルス応答がクリティカルダンピングシステムであり、過度の衝撃なしに式（12）限界です。
\ [Y [N] -2R \ COS \シータ及び[N-1] + R ^ 2Y [N-2] = X [N] \ {11}タグ\]
\ [[N] = \ dfrac [N] \タグ{12} \ {\ \そのシータ} ^ R NU {\（N + 1）\シータ、\その}]
3.リニア・フィードバック・システム
3.1線形フィードバックシステム
LITに定義されているフィードバックシステムの概念と性質を拡大する必要性を議論するために、ここで、合理的なシステムを実現するために、また知られているフィードバックシステムLINEAR。出力フィードバックシステムは、入力信号、出力する後続の変更の前に調整することができ、それは強力な誤り訂正及び抗ジャミングを有しています。システムLIT \（H（S）\）および\（G（s）は\）と呼ばれて配置される図に示されている典型的なフィードバックシステム、フォワードパスおよびフィードバックパスを構成する、全体の閉ループシステムを、全くフィードバック経路が存在しませんシステムとも呼ばれ、オープンループシステム。
\（R（S）= X（S）+ G（s）はY（S）\）と\（Y（S）= H（S）R（S）は\）、確立された式（13）を有することができますシステムLIT又は閉ループシステム、及びシステム機能\（Q（S）\）は（典型的には因果システムであると仮定）。\（Q（S）\）分数の形は、ここでは、システム設計のための部屋の多くをもたらすでしょう簡単な例です。式（14）の例えば（\ P（S））\で近似逆システム、式（15）、安定した減衰器\（K \）安定した増幅器を与えるために、前記共通の増幅器\（H（S）\）それは不安定です。
\ [Q（S）= \ dfrac {Y（S）}、{X（S）} = \ dfrac {H（S）} {1-G（s）はH（S）} \タグ{13} \]
\ [\ dfrac {K} {1 + KP（S）} \約\ dfrac {1} {P（S）}、\; \;（K \ GG 1）\タグ{14} \]
\ [\ Dfrac {H（S）} {1 + KH（S）} \約\ dfrac {1} {K}、\; \;（| S（S）| \ GG 1）\タグ{15} \ ]
別のフィードバックシステムが広く安定性を調整します。順定数フィードバック\（Kを\）を加えるよう\としてシステム（H（S）= \ dfrac {1} {SAは} \）、システムを与えるように調整される（\ \ dfrac {1} {SAK} \）。二次システム（\ \ dfrac {1} {+ BとしてS ^ 2 +} \）時定数項と条件を調整する必要性もちょうどフィードバックを追加\（K_1s + K_2 \）、ここで\（S \）差動システム。離散一次システム（\ \ dfrac {1} {1-AZ ^ { - 1}} \）、場合帰還シフトを使用することができる\（Kzを^ { - 1} \）システムは、（\となるように調整することができる\ dfrac {1} {1-（+ K）Z ^ { - 1}} \）。
安定性の決定3.2 - 根軌跡
システム設計の安定性は、多くの場合、最初は満たされると安定性の判断が特に重要になります。閉ループシステムでは、一般的に（\ \得た（H（S \）またはG（S）\）係数を設定する調整可能な、例えばそのシステム\の分母（1-KG（s）はH（S）\）。システムの十分条件の安定性は、分析するために、離間虚軸上の今、式（16）の根及び右半平面、\（D（S）\）と\（K \）ではありませんプロセスは、（K \）効果\ない。\（N \）ルートと（D（S）\）分子、分母のより高い数\（N \）、式（16）（\覚えおそらく複数根、特別な\（K \）未満であってもよい\（N \））また、我々は信じる理由を持っていることから\（K \）\（と - 行のに\ inftyの\）\（+ \ inftyの\）。変更、また連続\（N \）根軌跡なければなりません。
\ [D（S）= G（s）はH（S）= \ {1} {Kのdfrac} \タグ{16} \]
呼ばれる観察根軌跡、システムの安定性を決定する方法であって、根軌跡法。（D（S）\）\簡単な分別のための （ 及び式によって注文のごく少数）、実際に分別特性による軌跡ルートを正確に記述することができます。ルートは、まず簡単に知っている傾向があり、ときに\（0 K \ \）\（D（S）\）極、一方\（K \へ\ inftyの\ ） ルートが\時間になる傾向がある（D（S）\）ゼロ。各極のため、根軌跡の終点がゼロである、想像、根軌跡を押した場合\（K \）、最後の極ゼロ点から各分岐二つの枝に正または負です。次に、簡単な根軌跡上の各点で実軸を知ること、および（2N \）極\であり、ゼロは重量との間のルートの長さに応じて、同じ2つの点として\（2N \）段落（無限に分離しました\（0 \））、\ （D（S）\） 正及び各セグメントの負の値を交互に（一番右のセグメントが正です）。
次に、実軸線分と根軌跡分岐の関係。ポールセグメントの両端がゼロならば、セグメントは、分岐根軌跡でなければなりません。複素平面に分割セグメントの実軸上の点でそうでなければ、セグメントは、（ルート重量を含む）のエンドポイントの二つの枝の端部は、これらの2つの分岐します。実軸以外の根軌跡は、対称の実軸は、したがって、二つの対向する分岐は、逆にする必要があります。もちろん、最終的に枝を残し、他の記号は、各エンドポイントの分岐収束極から同じ、異なる、ペアのゼロは、これを保証することができます。外側の根軌跡実軸の形状として、私が証明次より良い結論に加えて、深い議論を行うことができません：二点アウト（自分の計算）がある場合、半円弧軌跡その間のルートである点場合これは、根軌跡垂直二等分線であること、無限です。
3.3 -Nyquist安定性の判断基準
根軌跡法は、単純な画分に適用することができ、それぞれ、特定の\（K \）の値とを追跡することは困難です。コンピュータは、特定の\（K \）値支援場合、式（6）のルートを解決することです。しかし、この方法とダイナミクスの議論の欠如\（K \）、およびこの段落で説明ナイキスト（ナイキスト）基準を（\ K）を\追跡することができ、値の安定性の判断（コンピュータ支援に必要）を行います。
S（\式のすべての分母を減算することにより、式Iのすべての分子、その引数の複素変数分数\（D（S）\）性質を確認\（S- \ alpha_i \）及び輻輳角する最初 - \ beta_j \）と引数。閉ループに沿って\（S \）（単環）が時計回り週公転するとき、式の引数は、元の値に戻すため、閉ループ極、零点ではない;しかし、閉ループ極、零点、なぜなら内型引数は、増加した（2 \ PI \）\減少;及びループ上の点は、より複雑であり、別々に議論されるように、またはこのような状況を排除します。複素関数の引数が変更\（2 \ PI \）関数の値に影響を与えないが、の整数倍であるが、（軌跡値、微分）連続臨界ディスカッション。設けられたループは、\（P \）ゼロ、\（Q \）極は、\全体還元\（2（PQ）\ PI \）、トラック約すなわち値（D（S）\）引数を発見しました原点は、時計回りに回転し、\（PQ \）円を。
この結論で、我々は以下の式を議論し続ける\（1-KD（S）\）または\（F（S）= D（S）-1 / K \）ゼロ。（\ D（S））（K = 0 \）\ここで考慮例外的な場合において、及び\必要とされないように（\ F（S））\ことは、より少ない分子の分母次数の順序よりもないすべての（ゼロ劣ります極）（D（S）\）\であるポールも劣っています。閉ループ十分に大きな直径は、それが\右半平面の極の全てが含まれている場合、図に示す構成（N_P ^ + \）とゼロ\（N_0 ^ + \）。直径が無限大になる傾向があるが、アークは（\ F（S））の値を、\傾向トラック長の、本明細書で\（0 \）、（\ F（S））\よう傾向最終トラックに相当します（F（J \オメガ）\）軌道\インチ
コンピュータによって引き出さ\（D（J \オメガ）\）遺伝子座、世界中の\（（1 / K、0）\）倍（N_C \）\時計回り、\実際には（F（J \オメガ）\）時計回り回数の起源について。（（1 / K、0）\）\場合トラックに\（D（J \オメガ）\）、ゼロであり（F（J \オメガ）\）\示し、システムは虚軸に不安定です。そうでなければ、関係\（N_C = N_0 ^ + - N_P ^ + \）、\の必要十分条件を安定化システム（N_0 ^ + = 0 \）すなわち\として記述（N_C = -N_p ^ + \）、\（ D（J \オメガ）\）の周りに追跡\（（1 / K、0）\）反時計回りの回転の数であり、それは、右半平面の極の数に等しくなければなりません。なお、当然の\（N_C \）缶も平面の左半分の、しかし理由極数のゼロ極との間の関係は、ゼロの合計に等しい示し、実際には、新鮮な結論を持っていません。
見ることができる、\（D（S）\）と\（Kは\）（\ K）を\システムの安定性に影響を動的に追跡することができ、分離、および\（D（J \オメガ） \） と\から（（1 / K、0） \） 、システム許容範囲であることができ、この距離は、システムと呼ばれる安定余裕を。十分な条件と同様に、離散システム、虚軸が単位円にマッピングされ、すなわち、安定したシステムがある：\（D（E ^ { J \オメガ}）\） （\で\ [0,2におけるオメガ\ \ （（1 / K、0 \ PIについて）]の\追跡 ）\） 反時計回りの回転の数であり、極が単位円等しい外であるべきです。
3.4合理的なシステムブロック図
合理的なシステムは強力ではなく、合理的なシステムを表現するためにブロック図を使用して、このセクションを実装することは容易ではないだけです。まず、理論的には、任意の分数であれば最初の合理的システムはカスケードによって、構築することは簡単であるように、任意の合理のシステム全体のブロック図を並列に構成することができる、（多項式）または製品と単純画分に分解することができます。しかし、実際の使用だけでなく、そのような積分微分としての信頼性及び多重化装置の程度を考慮には容易に安定でありません。問題を説明するために、最も単純な一次分数システム\（1 /（SA）\）から議論を始めます。（; G（S）= A \ H（S）= 1 / S、\）式（13）フィードバックシステムの結合、及び積分器を利用する\（1 / S \）、\に設定することができます。
この図が、この\（Y「（T）-ay（T）= X（T）\）のための微分方程式のシステムの別の説明図であり、\（X（T）+ AY（Tに書き換え）= Y「（T）\）。\（Ayの（T）\）\（Y（T）\）フィードバック増幅、および\（X（T）\）を合わせパスの正の入力として。天然の積分であるべき往路入力\（Y「（T）\）、出力\（Y（T）\）\（H（複数可）\）ルック\（1 / S \）。（\ \ dfrac {1} {F（S）}; F（S）= S ^ N-a_1s ^ {N-1} - \ cdots-A_N \）これは\フラクショナルビューの任意の角度に拡張することができ、n個経路上（N- \）積分、\出力（K \）拡大積分\（a_k \）回フィードバック入力信号が\です。
一般的な分数\用（\ dfrac {G（S ）} {F（S）} \）、 ちょうど2つのカスケード接続されたシステムとして\（\ dfrac {1} { F（S）} \ CDOT G（S ）\）。前記多項式\（G（S）\）微分器と増幅器によって直接使用することができるが、微分器の使用と直接\から、互いに相殺インテグレータ（\ dfrac {1} { F（S）} \） 積分後に所望信号が描かれています。示し分数\（\ dfrac {S ^ 2 + 3S + 5}、{S ^ 2-2s-4} \） システムのブロック図、図呼ばれるような直接ブロック図。
最后来看离散系统，所有的分析都很类似，但还是要注意方程不同带来的框图差异。比如分式\(\dfrac{1}{1-az^{-1}}\)所代表的系统\(y[n]-ay[n-1]=x[n]\)，输出\(y[n]\)移位放大后的\(ay[n-1]\)，反馈给\(x[n]\)后又直接输出为\(y[n]\) 。这将导致离散系统直接型框图的一些差异，图示为分式\(\dfrac{1+3z^{-1}+5z^{-2}}{1-2z^{-1}-4z^{-2}}\)的系统框图（\(z^{-1}\)为移位操作），与差分方程的对应关系还是很直观的。
