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均質線形微分方程式溶液文献二次非定数係数
調査区間中に発生した非常に強力な問題解決能力、まだ手順は、そうでなければ、プロセスポイント（口の中の言葉、検証すべきは）存在しない、未定係数法を書いて過ごすために持っていますが、することができます大幅に時間答え保存し、この方法を習得私は自分自身にいくつかの大規模な収穫データは、次の記事を書くために、共有に学習の精神に沿って、整理しまとめた見たと言います。誤謬場合、私は翼を願っています。
原理の証明がクラスを気にしない場合は、直接自然を見ることができる、または（私は怠け者大きな確率アップノック例ではありませんが）の例を参照してください。
あなたに助けを与えるために希望をもたらす、私はそれが難しいのコメントで理解するために追加します//
まず、定義
不均一な一般的な二次線形微分方程式定数係数は次の通りである：
\ [\ FRAC {D} ^ 2Y ^ 2} + {P DX \ FRAC DX {{}}のDy QY = F（X）、（+ P、 qは定数である）\]
微分演算子を導入した：
\ [\ FRAC {D} {DX} = D、\ FRACを{D ^ 2} {DX ^ 2} = D ^ 2、\ cdots、\ FRAC {D ^ N- } {DX ^ N} = D
^ N \] このようにある：
\ [\ FRAC {Dyを} {DX} =のDyの、\ FRAC {D ^ 2Y} {DX ^ 2} = D ^ 2Y、\ cdots、\ FRAC {D ^ NY} {DX ^ N} = D ^ NY \\ \ FRAC {1} {D ^ N} = \ underbrace {\ INT \ cdots \ INT} _ { n回であった} F（X）（DX） ^ N \\ \ FRAC {1} 、{D + K} F（X）= \ FRAC {1} {K}（1- \ FRAC {D}、{K} + \ cdots +（ - 1）^ N \ FRAC { D ^ n}は{K ^ N
} + \ cdots）F（X）\] 次に、（1）のように簡略化することができる：
\ [\} ALIGN =左開始{F（X）=＆QY D ^ + 2Y + PDY \\ ＆=（D ^ 2 +のpD + Q）Y \\＆:: = F（D）Y、 "多項式オペレータ"のF（D）と呼ばれる\端{ALIGN} \]
式（1）特殊溶液の\（Y ^ * \）がある：
\ [^ Y * = \ {。F. FRAC {} 1（D）} F（X）\]
第二に、補題の数
これは、私はハムを忘れて、証明するために気にしませんでした（ˉ▽¯〜）
2.1.1オペレータの多項式自然
セット\（F（x）は、G （x）は\） 微分可能関数である：あります
- \（F（D）[\アルファF（X）+ \ベータG（X）] = \アルファF（D）F（X）+ \ベータF（D）G（X）\）
- セット\（F（D）= F_1の（D）F_2（D）\） 、そこ\（F（D）F（ X）= F_1（D）[F_2（D）F（X）] = F_2（D ）[F_1（D）F（ X）] \）
- セット\（F（D）= F_1（D）+ F_2（D）\の）、次いで\（F（D）F（ X）= F_1（D）F（X）+ F_2（D）F（X）\ ）
2.1.2 算子多项式の公式
セットkは、任意の定数、V（x）は二次多項式を回動可能です、
- \（F（D）及び^ {KX} = E ^ {KX} F（K）\）
- \（F（D ^ 2）\罪{AX} = \罪{AX} F（-a ^ 2）、F（D ^ 2）\ COS {AX} = \ COS {AX} F（-a ^ 2 ）\）
- \（F（D）及び^ {KX} V（X）= E ^ {KX} F（D + K）V（X）\）
- \（F（D）XV（X）= xFを（D）V（X）+ F '（D）V（X）\）
第三に、いくつかのプロパティ
3.1逆運転者のシフト原理
\ [\ FRAC {1} {F（D）} E ^ {KX} V（X）= E ^ {KX} \ FRAC {1} {F（D + K）} V（X）\]
- もし\（F（k）は\ neq0 \） 、そして：
\ [\ Fracの{1} {F（D）} E ^ {KX} = eは^ {KX} \ FRAC {1} {F（K）}、今回はF（k）は\既に値です]
- もし\（F（k）= 0 \） 、次いでkは（F（k）= 0 \ \） M-根重量があります。
\ [\ FRAC {1} {F（D）} E ^ {KX} = X ^ M \ FRAC {E ^ {KX}} {F ^ {（M）}（K）} \]
3.2三角関数について
オイラーの公式：
\ [^ {E R＆LT \ベータ} = X \ COS {\ベータ} X + I \のSiN {\ Xベータ} \\ \ COS {\ベータX} =のRe [E ^ I {\ Xベータ}]、\罪{\ベータX} \\実部と呼ぶ =イム[E ^ {I \ベータX}]、 \と呼ばれる虚数部]
- とき\（F（-a ^ 2） \ neq0 \） とき：
\ [\ FRAC {1} {F（D ^ 2）} \罪{AX} = \ FRAC {\罪{AX}}、{F（-a ^ 2）} \\ \ FRAC {1} {F（D ^ 2）} \ COS {AX} = \ FRAC {\ COS {AX}}、{F（-a ^ 2）} \\ \]
- とき\（F（-a ^ 2） = 0 \） とき：
\ [\ FRAC {1} {F（D ^ 2）} \罪{AX} = X \ FRAC {1} {F '（D ^ 2）} \罪{AX} \\ \ FRAC {1} {F （D ^ 2）} \ COS {AX} = X \ FRAC {1} {F '（D ^ 2）} \ COS {AX} \\ \]
- \ [\ FRAC {1} {F（D ^ 2）} \罪{AX} = Imが[\ FRAC {E ^ {IAX}}、{F（IA）}] \\ \ FRAC {1} {F（D ^ 2）} \ COS {AX} =のRe [\ FRAC {E ^ {IAX}}、{F（IA）}] \\ \]
3.3多項式を含む場合
K任意の実数の集合、V（x）は関数の二次導関数であるが、その後、であってもよいです。
\ [\ FRAC {1} {F（D）} P_M（X）= Q_m（D）P_M（X）\]
\ [\ FRAC {1} {F（D）} XV（X）= [X- \ FRAC {1} {F（D）} F '（D）] \ FRAC {1} {F（D）} V （バツ） \]
第四に、（16）に式（8）が実証します
補題（1）：もし\（P（X）\）多項式、\（V（X）\）である任意の関数、次いで有する：
\ [P（D）^ E {\ X}ラムダV（X） = E ^ {\ラムダX} P（D + \ラムダ）、V（X）\]
補題（2）：提供\（F_P（X）\）のp次の多項式、すなわち\（F_P（X）= P + a_1x a_0x ^^ 1-P} + {\ cdots A_P + \。） 、次いで：
\ [\ FRAC {1} {\
prod_ {I = 1} ^ M（D + K）} F_P（x）は\] のp次多項式のままです。
\ [\ \ {ALIGN}を開始＆ため\ FRAC {1} {D + K_1} F（X）= \ FRAC {1} {K_1}（\ FRAC {1} {1+ \ FRAC {D} {K_1} }）F_P（X）= \ FRAC {1} {K_1}（1- \ FRAC {D} {K_1} + \ cdots +（ - 1）^ N \ FRAC {D ^ N} {K_1 ^ N} + \ cdots ）F_P（X）\\＆\ {D ^ {N + 1} F_P（X）= 0、\\＆\従って\ FRAC {1} {D + K_1} F（X）= \ FRAC {1}ためK_1}（1- \ FRAC {D} {K_1} + \ cdots +（ - 1）^ N \ FRAC {D ^ N} {K_1 ^ N}）F_P（X）\\＆\従って\ FRAC {1} { \ prod_ {I = 1} ^ M（D + K_I）} F_P（X）= [\ FRAC {1} {D + k_m} [\ cdots [\ FRAC {1} {D + K_1} F_P（X）] ]、仍为P次多项式\端{ALIGN} \]
第五に、いくつかの例
- \（= X \ COS {2X}、F（D）= 1 + D ^ 2 \ \ FRAC {D ^ 2Y} {DX ^ 2} + Y）
\ [\ {ALIGN}公報解決を開始：Y ^ *＆= \ FRAC {1} {1 + D ^ 2} X \ COS {2X} \\＆=のRe [\ FRAC {1} {1 + D ^ 2 } XE ^ {2ix}] \\＆=のRe [E ^ {2ix} \ FRAC {1} {1 +（D + 2I）^ 2} x]は、シフト原理\\＆=のRe [E ^ {2ix \ FRAC {1}、{3} - - \ frac49iD} \ FRAC {1} {D ^ 2 + 4iD-3} x]は、（*）は、この工程は、＆=のRe [E ^ {2ix}（\\ Iをマッピングします）X] \\＆=のRe [（\ COS {2X} + I \罪{2X}）（ - \ FRAC {1} {3} X- \ frac49i）]、D :: = \ FRAC {DY} { DX} \\＆= \ FRAC {1}、{3}、X \ COS {2X} + \ FRAC {4} {9} \罪{2X} \端{ALIGN} \]
第六に、参考文献
- [1]「常微分方程式」王高雄、高等教育を押して「ラプラスは、高次の微分方程式を変換します」
- [2]「寧スアンノン」電子技術の桂林大学 "「微分方程式線形定数係数の特定の溶液のための二次微分オペレータ法」