「流れ」とは何でしょうか？
私がこれまで接してきたさまざまな数学体系の中で、運動や変化を説明するのに最も適しているのは、流れと変換群という 2 つの異なる視点であると感じています。前者は作用を受ける物体を中心とし、運動は時間の経過に伴う変化の関数であるが、後者は変換自体を中心とし、様々な変換から構成される空間の代数と位相構造を研究する。相対的に言えば、ほとんどの人にとって前者の方が直感的に思えると思います。この記事では「流れ」の観点から展開していきます。実際、これら 2 つの考え方には基本的なつながりがあります。このつながりは、リー群理論の基本概念であるリー群作用に反映されており、そこから拡張された豊富な理論が生まれています。
フローとは何ですか? 非常に一般的に言えば、それは運動の法則を表します。点の初期位置 x が与えられた場合、点を時間 t だけ移動させ、その後別の位置 y に到達します。この場合、y は初期位置 x と移動時間 t の関数になります。
この関数 S がいくつかの妥当な特性を満たす場合、それはフローと呼ばれます。微分幾何学を勉強したことのある学生は、この定義が数学の厳密な定義とは少し違うと感じるかもしれませんが、実際その通りです。微分幾何学では、流れの概念は多様体と単一パラメーターのサブグループまたは積分曲線に基づく必要がありますが、ブログでこのように説明するのは困難です。最も基本的な考え方を伝えたいと考えて、厳密さをある程度放棄し、直感から始めなければなりません。
考えてみましょう。合理的な運動関数はどのような性質を持つべきでしょうか? 少なくとも以下の3点が必要だと思います。
- 動きは連続的です。物理学によれば、いわゆる「テレポーテーション」は現実には存在しない。上式でxが固定であれば、
初期位置がxである点の移動過程になります。数学的には、「瞬間的な遷移」は存在しません。これは、任意の x について、その運動プロセス
が連続的であることを意味します。
- 変形は継続的に行われます。ここで、点ではなく物体を考慮するとします。次に、元々隣接していた点は、後になっても隣接します。厳密に言うと、トポロジーでは、x とその隣接点の 1 つがそれぞれ時間 t の間に移動したことを意味します。そのため、移動後も隣接関係は維持されます。これは同等です。オブジェクトのトポロジーを変更しないこと (つまり、オブジェクトを引き裂くことはありませんが、継続的な変形は確かに許可されます)。もちろん、現実に物体が引き裂かれることは不可能ではありませんが、それは一般的な数学ツールでは表現できない位相構造の変化につながります。
- 時間の一貫性。簡単に言うと、まずt1時間動かしてからt2時間動かせば、(t1+t2)時間動かしたことと同じになります。上記の式を使用して書くと、次のようになります
。この性質は物理学では当然のことのように思われますが、数学では二値関数 S をランダムに与えるとこの性質を満たさない場合があります。この規制により、私たちが定義する S が少なくとも物理的に無秩序にならないことが保証されます。しかし、その意味はそれを超えており、これが群準同型性を代数的に表すことは後でわかります。この写像はリー代数で中心的な役割を果たします。
要約すると、これは連続関数です (すべての初等関数は滑らかです)。時間に関する一貫性条件もあります。ここで特に強調したいのは、t が正でも負でもよいということです。時間を負の数にするということは、点を元のパスに沿って戻すことを意味します。つまり、どのように戻すかということです。これには暗黙の条件があります。ある瞬間に離れた 2 つの点が集まって 1 つの点になることはありません。そうしないと、戻ったときにどこに行けばよいのかわかりません。トポロジ構造が変わらなければ、このトポロジは保証されます。重要なのは、オブジェクトは引き裂くことも、くっつくこともできないということです。
フロー - 変換グループとモーション カーブの統合
2 つの側面から見ると、2 つの異なる理解が得られます。まず、t を修正します。
これは x に関する変換関数になります。時間 t 後に点をある位置から別の位置に変換します。それからそれは変身です。そして、異なる時間 tt は異なる変換に対応します。さらに、時間の一貫性に基づいて、
最初に変換が実行され（時刻 t1）、次に
変換が実行されます（時刻 t2）。これは、別の変換と等価です
。数学的には です
。
群の概念の基本を理解している場合は、変換群がすべての異なる時点から形成され、
t から への写像が実数 R 上の加法群からこの変換群への同型写像であることがわかります。マッピング。1 つのパラメータ t によって制御されるため
、「1 パラメータ グループ」と呼ばれる特別な用語があります。加法群の可換性により、この単一パラメータ変換群も可換です。この可換性の物理的意味は上で述べたとおりです。つまり、t1 が最初に取られるか t2 が取られるかは同じです。
したがって、フローはオブジェクトに継続的に作用する交換可能な単一パラメータの変換グループであるという最初の理解が得られます。(ここでのいわゆる「オブジェクト」には、数学では「多様体」という特別な名前が付けられています。この点についてはあまり詳しく説明したくありません。) 実際、これは流れのより正式な定義です。
別の観点から見て、x を固定して、この点の動きを追跡します。
次に、初期位置 (t=0 での位置) が x である点の移動プロセスであり、モーション カーブ (曲線) またはモーション トラジェクトリ (軌道) とも呼ばれます。各ポイントには独自のモーション カーブがあります。いわゆるフローは、これらすべてのモーション カーブのコミュニティです。言い換えると、フローはこれらのモーション カーブによって特徴付けられます。これは、私たちの直感的なアイデアのいくつかと同じです。私たちはいつ絵を描くとき、私は川にいくつかの曲線を描いて流れを表現するのが好きです。
この機能は、変換グループとモーション カーブを識別します。これらは同じものの 2 つの異なる側面です。この時点で、私たちは目標に向けた最初の一歩を踏み出しました。最終的には、変換群とベクトル場を接続することになります。これがリー群とリー代数の中核です。
流れ場とベクトル場
これを取得したので、それを導出することで、各瞬間におけるこの点の速度を取得できます。全体の傾向はこれらすべての曲線の集合であるため、多様体のすべての点でそれを通過する曲線を見つけることができ、その点での速度をマークすることができます。(ここで、特定の流れについて、特定の点を通過する曲線が一意であることを強調します。その理由を考えてもらえますか?) そこで、各点に速度を割り当てます。これが「速度場」です)。各速度は曲線上の接線ベクトルであるため、より一般的にはそれを「ベクトル場」と呼びます。ここでは、あらゆるフローがモーション カーブの速度を通じて対応するベクトル フィールドを確立できることがわかります。そして、このベクトル場は連続であることが証明できます。
逆はどうでしょうか？連続ベクトル場が与えられた場合、それに対応する流れを見つけることができるでしょうか? ここには3つの側面があります
- (存在)、与えられたベクトル場に等しい速度場を持つ流れを見つけることができますか?
- (uniqueness) が存在する場合、このストリームは一意ですか?
- (連続性)、
この流れは x と t に関して連続関数ですか。
この質問は非常に奥が深く、その答えは一般的な意味での常微分方程式の解の存在、一意性、連続性に直接関係しています。答えは、これは部分的には正しいということです。これは多様体上で定義された任意のベクトル場です。多様体上の任意の点については、それを含む「ローカル多様体」(開いた部分多様体) が常に見つかり、またこのローカル領域上で定義された流れも見つかります。のフィールドと指定されたベクトル フィールドは局所的に等しいです。簡単に言うと、適格なフローはどこにでも「ローカルに存在」します。また、定義領域が重なる部分が等しい、ある意味でユニークな２つの限定された「ローカルフロー」である。指定されたベクトル場が連続的な場合、派生フローも連続的になります。
厳密な証明を行うつもりはありませんが、これは差動マニホールドに関する多くの情報源に記載されています。ここでは、一般的なプロセスを使用して、このフローを構築する方法を紹介したいと思います。私たちはベクトル フィールドを、非常に密集した標識が多数記された大きな地図として考えます。つまり、この地点に到着したらどのくらいの速度でどの方向に運転すべきかを示します。したがって、どこかから出発するときは、まず近くの標識を見て、指示された速度と方向に車を調整し、少し距離を前進してから次の標識を見て、速度と方向を調整し続け、次のように続けます。車の運転プロセスは運動軌跡を形成し、各点の速度はその点の表示と一致します。無限に密集した標識があり、ドライバーが常に速度を調整し続ける極端なプロセスを想像してください。その場合、ベクトル場と一致する運動曲線が得られます。上で、フローはこれらすべてのモーション カーブの集合体であると述べました。そのため、さまざまな場所から駆動を開始し、最終的にフロー全体を構築できます。
場合によっては、ベクトル場の定義領域が完全でない場合があり、そのため車は無限に走行できなくなります (そうしないと暴走する可能性があります)。このときは「ローカル フロー」のみが与えられます。ベクトル場にグローバル フローがある場合、それは完全なベクトル場と呼ばれます。
このようにして、指示に従い、段階的に変換を実行するだけで、変換がどのように行われるかを知ることができ、これらの小さなステップの積み重ねが最終的な変換効果を形成します。どのような指示があると、どのような変化が起こるのか。リー群理論では、数学者はベクトル場に無限小生成器という名前を付けました。これは、数千マイルの変換が小さなステップで生まれることを意味します。数学では、「数千マイル」と「歩数」の関係は、リー群とリー代数の間の関係です。
なぜ変換を生成するベクトル場ではなく、変換を直接記述しないのでしょうか? 多くの場合、全体的な進化を直接説明するのは簡単ではありませんが、進歩の小さなステップを把握するのは簡単です。多くの問題では、「分割統治」戦略が問題を大幅に単純化できることがわかっており、変換グループからベクトル場への変換は、この戦略の究極の具体化です。簡単な例としては、例えば物体のサイズを変えない変形過程を表現したい場合、いわゆる「非圧縮性」を直接変換行列で表現するとかなり複雑な非線形制約になりますが、それはベクトル場で表現されます。ベクトル場をある有限次元の部分空間に制限するだけで済みます。これは、はるかに単純な線形制約です。このような例は他にもたくさんあります。
微分方程式との関係
最後に、上記の「ベクトル場から流れを導出する」問題を振り返ってみましょう。いわゆる速度場は tt の導関数であることがわかっているため、この問題は次のように書くことができます。
ベクトル場が与えられた場合、次
のようなものを見つけます
。
これは一般的な意味での常微分方程式の初期値問題です。この質問に対する答えは、常微分方程式の解の存在、一意性、連続性に対する答えに関連しています。ベクトル場が与えられると、それは常微分方程式を与えるのと同じです。xx が与えられた場合、形成される曲線は上記の微分方程式の解であり、流れは
これらすべての解の全体です。微分方程式の解は通常積分形式で与えられることが知られているため、上記の「運動曲線」は数学における正式な学名が「積分曲線」（積分曲線）となります。
物理学で言えば「積分曲線」も分かりやすいですが、「速度標識」の指示を積み重ねてできた道であり、積分曲線を生成する過程は「千マイルに到達するための一歩を積み重ねる」過程です。 。さらに、これは単なるイメージ思考ではなく、実際の問題では、微分方程式の数値解法がこのプロセスの最良の実施形態です。