シリーズは、元のビデオを見ることができる、微分方程式3Blue1Brownビデオノートのシリーズである：https://www.bilibili.com/video/av50290975又はhttps://www.youtube.com/watch?v=p_di4Zn4wz4&list=PLZHQObOWTQDNPOjrT6KVlfJuKtYTftqH6
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1はじめに
で3B1B微分方程式シリーズノート（b）は、我々は偏微分方程式の熱伝導方程式の理解によって導入され、この章では、伝導方程式を加熱し続ける偏微分方程式を解くことに基づいており、偏微分方程式を解く、満足偏微分方程式を導入ソリューションは数多くありますが、我々は十分に、また、境界条件、最終的には初期条件で決まる最終溶液を分析する必要がない場合にのみ偏微分方程式を持っているように、すべてのソリューションは、当社の要件を満たすことができるわけではありません。
2つの偏微分方程式
それ自体と正弦関数の二次導関数は比例するため、まず、特定の正弦関数は正弦関数の異なる線形組み合わせによって、より複雑な解を得ることができる、熱伝導の非常に単純な式です。フーリエ級数は、すべての関数とは、正弦曲線として表すことができることを教えてくれる。これらのすべての条件が優越の正弦関数ソリューションを築きました。実際には、多くの場所で正弦関数は微分方程式を解くことはほんの一例で、対処することは非常に簡単になります。
私たちは、正弦関数によって偏微分方程式の解で始まります。
我々は、正弦関数に沿って金属棒の温度と仮定する（\ SIN（X））\ \：
[\ T（X、0）= \ SIN（X）]
で\（T \）に\（X \）の部分を取って誘導体及び第2の部分の誘導体を得ることができる：
\ [\ FRAC {\部分T} {\部分X}（X、0）= \ COS（X）\]
\ [\ FRAC {\部分^ {2} T} {\部分X ^ {2}}（X、0）= - \ SIN（X）\]
一次元熱伝導方程式：
\ [\ FRAC {\部分T} {\部分T}（X、T）= \アルファ\ CDOT \ FRAC {\部分^ {2} T} {\部分X ^ {2}} （X、T）\]を
得るために導出することができる：
\ [\ FRAC {\部分T} {\部分T}（X、0）= \アルファ\ CDOT \ FRAC {\部分^ {2} T} {\部分X ^ {2}}（X、
0）= - \アルファ\ CDOT T（X、0）\] 我々は、興味深い特性を見つける：初期状態では、各点の温度変化率をこの点にしています温度に比例し、比例係数はどこでも等しくなります。小さな時間の後、曲線の振幅を低減する、曲線は、次の周期の小さな振幅を低減し続けます。計算後、私たちは、このプロパティは任意の時点で確立されていることがわかりました。温度プロファイルの正弦関数が大きな利点で表し、すなわち、その正弦波ダウン特別なスケールと併せて、各時点で\（T \） 、振幅減少曲線は似てい\（SIN（X）\ ）の定数を掛けました。
ここでは、今、私たちがいることを、等号の左側を記述するために別のを必要とし、およそ我々は一般的なアイデアを持っていることの空間的関係に関して偏微分を言っていること、それを記述等しい熱伝導方程式の右側を持っています時間の偏微分。私たちは、温度がそれ自身と温度の時間変化率に比例していることを知って、温度プロファイルの性質に応じて正弦関数を表します。我々は変化率の一定量は、それ自体に比例している見たとき、我々は最初の指数関数を考えるであろう：
\ [E KX ^ {} \]
次に、どのように我々は、温度式を更新するために、指数関数を使用すべきである（すなわち、（1） ）それの時間との関係を反映するには？熱伝導方程式は、右側の式は、正弦波、即ち、偏向器の空間的関係、等しくなりを表す\（ - \アルファ\）自体の温度の正弦関数、すなわち（5）を乗じました。同じ方程式を確保するために、温度の式は時間が偏微分削減を許可する- （\アルファ\）\我々は唯一にする必要がありますように、時間を（罪（x）は\）\基盤を掛ける^ \（E { - \アルファT} \）することができ、温度は、式に変更することができるように：
\ [T（X、T）= \ SIN（X）E ^ { - \アルファT} \]
次に、我々は確認してください。
方程式ことがわかる\（T（X、T） - \ {\アルファT} = \ SIN（x）はE ^） 時間\（T \）位置と偏導関数を求める（X \）\二階偏微分値は、当社の熱伝導方程式と一致している同じ需要、あります。
しかし！それは本当にとても簡単であれば、あなたは何が起こったのか、境界条件は必要ありません！
3つの境界条件
実際には、温度は、ただの分析のように、インデックスとしてポール用の2つの境界点を変更しないよう、ポールの温度が、この完全な正弦曲線であることを起こる場合でも、我々は、温度が一定のままであることを前提としています。しかし、我々は、熱伝達極と外の世界が存在しない場合は、境界点が瞬時に変わる温度はその時点までの温度変化の始まりとその密接に隣接等しくなり、それについて慎重に考えます！そのシステムは、常にゼロに等しくなるクローズドベータの一次導関数の境界点の瞬間に始まります。
で3B1B微分方程式シリーズノート（b）に、我々はを参照してください（X \）\直感的に二次微分を理解することは、米国の値は、隣接する2の平均のビットになる傾向がありますが、境界点になりますですNO側隣接する点は存在しません。次に、境界点の値は、変化率がその差に比例する測定された隣接する値のビットになる傾向があります。これは、システムが起動した後率い、境界線の傾きは常にゼロに等しくなります。
どうやら、ただ正弦関数は明らかに、この条件を満たすことができません。換言すれば、熱式自体に沿って機能を見つけることは、それが満たす必要があり、十分ではありません\（T> 0 \） 、境界は、水平、数式の意味でなければならない
\ [\ FRAC {\部分T } { \部分X}（0、T
）= \ FRAC {\部分T} {\部分X}（L、T）= 0 \] ここで、\（L \）棒の長さであり、\（T> 0 \）。
これは、境界条件の一例であり、我々は実際に偏微分方程式をピックアップする際に、境界条件は、多くの場合、表示され、偏微分方程式自身と我々の注意が必要です。
境界条件を追加した後、我々は近い真の解になることができ、さらに温度の発現を変更する必要があります。ここでは、ちょうどあなたが境界レベルで機能することができますので、いくつかの調整をする必要があります。ここでは、コサイン関数によって正弦関数を置き換えることができ、考えることは困難ではありません。余弦関数のいずれか満たすことができる\（X = 0 \） 0における最初の誘導体が、で満たすことができないかもしれない\（X = L \）一次導関数で我々はコサイン関数を調整する必要があるので、また0でありますサイクルによって（X \）\前に係数を乗じ\（\オメガ\） 、および\（\オメガ\）大きな屈曲振動が速いことを意味します。しかし、連鎖ルールに従って、新たな係数フロントガイドの二次関数が存在するであろう\（\オメガ^ 2 \）：\
{} [\ COS（{\オメガ} \ CDOT X）\ stackrel {\ FRAC {\部分\部分X}} {\ RIGHTARROW} - \オメガ\ SIN（\オメガ\ CDOT X）\ stackrel {\ FRAC {\部分} {\部分X}} {\ RIGHTARROW} - \オメガ^ {2} \ COS（\ オメガ\ CDOT X）\]
約式に等しい確保するために、我々は指数項の誘導体も乗算されるようにする必要があり）^ 2 \オメガ\（\、すなわち：
\ [T（X、T）= \ COS（\オメガ\ CDOT X）E ^ {
- \アルファ\オメガ^ 2トン} \] 今述べた、\（\オメガ\）正弦波振動が言うことである、より速く、より大きな意味を\（\オメガ\）より大きい、正弦および余弦の各誘導体ゼロ曲率が大きいほど、より大きな曲率のために、温度の関数波、それが冷却しますより速く、より速く倍の正方形です。新指数関数は、完全にこの点を例示し、直感は正しい方向を教えてくれる。
次は、米国制約せ\（\オメガ\）レバー長さが、値を\（L \） 、次いで、余弦関数を満たす境界条件の最低周波数である\（\ PI / L \）によって、（\ - N（\ PI / L）\）の代わりに（\オメガ\）\、我々は、温度の関数として記述することができる：
\ [T（X、T）= \ COS（N - （\ PI / L）X）E ^ { - \アルファ（ N \ PI / L）^ {
2} T} \] このように、我々は、偏微分方程式と境界条件、温度の機能を満たし得ます。
注文番号と第一ここに記載のビデオに対応する番号、（c）は、残りの部分は内（IV）を解くに拡大し続けることに留意されたいです。