1. 基礎知識
1. 一階微分方程式
を一次微分方程式といいます。y(x0)=y0 が確定解条件です。
従来の解決方法:
(1) 変数の分離
次に、両方の側面を統合して一般的な解決策を見つけます。
(2) 一次線形解の公式
通解公式：
一部の一次微分方程式は、u=x+y、u=xy、u=x/y、u=1/yn などの全体的な代入を通じて解く必要があり、上記のように解いた後に復元する必要があります。 2種類。
2. 2次の定係数微分方程式
【1】
【2】
[1] は均一、[2] は非均一です。
2.1 均一系の一般的な解の構築 [1]
は [1] の特性方程式です。
(1) 特性方程式に 2 つの異なる実根がある場合
[1]、一般解は次のようになります。
(2) 特性方程式に複数の根がある場合 
[1]、一般解は次のようになります。
(3) 特性方程式に共役複素根のペアがある場合
[1]、一般解は次のようになります。
2.2 不均一の一般解 [2]
(1) y* が [2] の特殊解である場合、[2] の一般解は次のようになります。
(2) y1* が の
特殊解、y2*
が特殊解の場合、
微分方程式の一般解は次のようになります。
3. 微分方程式の安定性理論の紹介
3.1 一階微分方程式の平衡点と安定性
【3】
[3]の右端には独立変数tが含まれていないため自律方程式と呼ばれ、代数方程式f(x)=0の実根x=x0を[1]の平衡点(特異点)と呼びます。 、これは [1] (奇妙な解決策) の解決策でもあります。
方程式 [3] の解が特定の x(0) から始まる場合、それは 
[4]を満たします。
この場合、平衡点 x0 は安定していると言われ、そうでない場合は不安定です。
f(x) が微分可能である場合、x0 付近で f(x) を 1 次テイラー展開すると、(1) は近似的に次のように表されます [5 
]
x-x0≈0のとき、R1(x)は高次の無限小になります。すると、[5] は [1] の近似一次方程式であり、x0 も [5] の平衡点であり、x0 の安定性については次の結論が得られます。
(1) 
x0 が [5] に対して安定している場合。
(2) 
[5] に対して x0 が不安定な場合。
3.2 二元方程式の平衡点と安定性
【6】
[6] 右辺には明示的に t が含まれておらず、自律方程式、連立方程式と呼ばれます
[7]
根 x1=x10,x2=x20 は [6] の平衡点と呼ばれ、p0(x10,x20) として記録されます。
【8】の場合
p0 は安定と呼ばれ、それ以外の場合は不安定と呼ばれます。
(1) 線形定数係数方程式の安定性に関する考察
【9】
[9] の係数行列を A とします。 |A|≠0 の場合、[9] は固有の平衡点 p0(0,0) を持ちます。A に 2 つの特徴的な根がある場合
【10】
(1*) 両方の固有値が負であるか、負の実部を持つ場合、p0 は定常です、つまり、p>0、q>0 であり、平衡点は安定です。
(2*) 2 つの特性根のうちの 1 つが正または正の実部の場合、p0 は不安定になります。つまり、p<0 または q<0 の場合、平衡点は不安定になります。
(2) 非線形二値方程式の場合、p0(x10,x20) における安定性の議論方法は次のとおりです。
残りの判定方法は上記と同様です。