シリーズは、元のビデオを見ることができる、微分方程式3Blue1Brownビデオノートのシリーズである：https://www.bilibili.com/video/av50290975又はhttps://www.youtube.com/watch?v=p_di4Zn4wz4&list=PLZHQObOWTQDNPOjrT6KVlfJuKtYTftqH6
著者の限定されたレベルに起因して、テキストがします必然的にいくつかの欠点と間違って、正直下さい批判。
1はじめに
で微分方程式ノート（3）の3B1Bシリーズ我々は二つの条件、偏微分方程式と境界条件そのものの熱伝導方程式のステップを解決するために導入しました。私たちは、適切なソリューションは、コサイン関数として使用することができることを理解し、実際には温度曲線は、多くの場合、コサイン関数のはるか及ばない。したがって、我々は、ソリューションの複数の線形結合は、方程式の新しいソリューションであるとして、温度プロファイルの線形結合によってコサイン関数を複数フィットする必要があります。フーリエ級数を-この記事は、フィットするための強力な方法をご紹介します。記事のノートしかしので、ここで、私は理解し、知識ポイントの一時的な部分を含んで、ビデオ内のすべての知識ポイントが含まれていません強くあなたは、元の映像、またはMAの学生から学ぶことが推奨されるフーリエ級数の式を理解する方法。
2理解と解決
この長い式のようにフーリエ級数：
\ [\開始{} F（T）=＆\ A_ FRAC {{0}}} + {2} 1 A_ {\ COS（\オメガT）+ {B_整列。 1} \ SIN（\オメガT ）\\＆+ A_ {2} \ COS（2 \オメガT）+ B_ {2} \ SIN（2 \オメガT）\\＆+ \ ldots \\＆= \ FRAC {A_ {0} {2 } + \ sum_ {N = 1} ^ {\ inftyの} \左[A_ {N} \ COS（N \オメガT）+ B_ {N} \ SIN（N \オメガT） \右] \端{整列}
\] ここで：
\ [\開始{整列} A_ \ {N-}＆= FRAC {2}、{T} \ INT_ {T_ {0}} ^ {T_ {0} + T} F（T）\ COS（N \オメガT）DT \\ B_ {N}＆= \ FRAC {2}、{T} \ INT_ {T_ {0}} ^ {T_ {0} + T} F（t）は\ SIN（N \オメガT）
\端{整列} \] DT 単純な正弦または余弦関数の（要素のおそらく無限の数）のセットに任意の周期関数又は周期信号：本質。
のは、例を見てみましょう：
\ [\ FRAC {\ PI} \左（\ FRAC {\ COS（1 \ PI X）} {1} - \ FRAC {\ COS（3 \ PI X）} {3 {4}。 } + \ FRAC {\ COS（ 5 \パイX）} {5} - \ FRAC {\ COS（7 \パイX）} {7} + \ cdots \右）= \左\ {始める\ {アレイ} { CL} 1＆\テキスト{もし
} X <0.5 \\ 0 \テキスト{X = 0.5 \\}もし1 - ＆\テキスト{X}場合> 0.5 \端{アレイ} \右\]。 この方程式は、とすることができますフィットステップ関数に使用されるビデオの例：
いずれかの関数がどのように適合しないということ？取得するキー適切な正弦または余弦関数の前に係数。
複雑2.1を発表
ここでは、複雑な機能により、複雑なものの代わりに、サインやコサイン関数を導入する必要があります。入力と出力は、この観点から理解実軸上の実際のドメイン機能、すなわち唯一シャフト、あるので、実際の機能は、本質的に、私たちが直感的に理解する助けにはならない一次元のドメインです。
：私たちは、オイラーの公式を知っている
\ [^ {E} = IX \ COS X + I \のSiN X \]は
、我々はオイラーの公式の修正を得るため、我々は、解熱コサイン関数を必要とする伝導方程式を考える：
\ [2 \ COS（X）= E ^ {
IX} + E ^ { - IX} \] の問題を考慮し、我々はここになりますので、伝導は、時間の変更についてである熱\（Xは、\）の時間に置き換えられます（T \）\、フーリエ級数この複素指数関数の本質である：
\ [^ {イット} E \]
この機能手段、その出力値は、単位円の単位回転当たり約1の割合、この時点であろうなぜノートを説明し、そして今ちょうどすることができ、この意味で知っておく必要があります最後の章では、理解することがやや難しいかもしれません。
オイラー方程式の形質転換後、我々が得る\（COS（T）\）と\（E ^ {それ} \ ） の関係を。我々は小さく、一連のベクトルに分解機能、およびこれらのベクターは、小さな固定整数周波数に回転する回転ベクトルを重ね合わせることによって、我々は任意の曲線、すなわち、任意の関数を得ることができます。しかし、ここで複雑な指数関数による回転です\（E ^ {それ} \は ） 説明し、最後に我々は唯一のサインやコサイン関数缶に変換する変更またはオイラーの公式オイラーの公式を必要としています。
各ベクトルの回転が、我々はこの式によって記述：
\ [C_ {E} ^ {N-N- \ CDOT 2 \ PI ITを} \] \（2 \ PI \）手段その反時計回り円、および\（2 \ \ PIに）係数率は指数関数前に、決定された回転する前に\（C_N \）選択された複素指数、例えば代表乗じた場合、同時に、回転を開始矢印矢印の初期位置及び長さを決定する\ （E {^（\ PI / 4）、I。} \）は、矢印手段の長さを変更すること、定数を乗じた場合、矢印は、45°位置から回転されることを意味します。
これらの複雑な指数関数、私たちの目的は、上述したように、あまりにも、任意の関数（曲線）を記述することである。我々は、それ自体で、この機能を必要とし、各項目の係数を見つけるには：
\ [F（ T）= \ cdots + C _ { - 2} E ^ { - 2 \ CDOT 2 \ PIそれ} + C _ { - 1} E ^ { - 1 \ CDOT 2 \ PIそれ} + C_ {0}、E ^ {0 \ CDOT 2 \ PIそれ} +
C_ {1}、E ^ {1 \ CDOT 2 \ PIそれ} + C_ {2} E ^ {2 \ CDOT 2 \ PIそれ} + \ cdots \] 最も単純には、中央を見つけることです曲線全体の重心を表す定数項、（時間仮説で\（T \）均一量の各離散点のために、これは実際には物理的な意味の重心である、等しい）、数学的に理解この\（C_0 \）実際には0から1まで、この曲線関数の積分である：
\ [C_ {0} = \ {0} INT_ 1} ^ {F（T）DT \]
概念を理解することが簡単であり、我々は、に加えて、点と一体に変換される\（C_0 \）、積分の各々は、第二のように、これらの矢印は、の整数倍の回転円の起源について一定の速度であり、0であります。
この例を通じて、私たちはこの無限の数では、唯一の積分定数項がゼロでないことがわかりました。したがって、我々は、優れた唯一の本来の機能に基づいて、この種のいずれかで計算することができる\（E ^ { - N- \ CDOT 2 \ PI IT} \）とすることができる（C_N \）\用語が一定になりますアイテム、こうして、\（C_N \）すべてゼロに用語よりも積分項の、しばらく\（C_N \）積分項のです\（C_N \）の値は、私たちはの計算を得ること\ （C_N \）方法：
\ [N-C_ {} = \ {0} INT_ 1} ^ {F（T）E ^ { - N- \ CDOT 2 \ PI IT} DT \]
コンピュータ缶に積分計算反復数値解法により得ることができます。
図3は、理解（E ^ {それ} \ \ ）
最後に、我々は、なぜ記事を説明するために注意\（E ^ {それ} \ ） 出力値が単位円の単位回転当たり約1の割合であろうことを意味します。
指数関数\（eは^ {X} \ ） の重要な特性は、それが自分の誘導体であることです。、我々は時間になる。この問題を理解するためのアプローチレッツ・スピードと場所（これは、位置ずれがないことに注意してください）（\ t）を\入力の関数として、我々はこの機能の軸出力での運動の本当の法則を見つけるだろうし非常に特定：位置移動（関数値）の出力値の出力機能の速度（微分値）は常に等しくなります。ときに我々の時間\（T \）の係数を乗じた実数の前では、チェーンルールによって、私たちは知っている：この実数のその後の導出は関数自体に乗算されます後。このリード位置移動（関数値）の出力値の出力機能の速度（微分値）は常に固定された複数のままです。
このような理解では、我々は複素平面に問題を拡張します。当時（T \）\によってあらかじめ乗算\（I \）は、当社の関数であった（E ^ {IT} \）\。この運動の位置の出力値の高速出力機能とは何かを持っていること？
私たちは、価値の理解を放棄し、\（* I \）この計算は次のように理解される行動。私たちのように定義された（I \）\です：
\ [I ^ 2 = -1 \]
この式は、私たちがどのような形状を取得し、直感的なように見えるされていません：
\ [= I * I -1 \]
も直感的ではありませんが、続けました：
\ [1私は= * *
-1 \] 我々はこの方程式を感じるように複素平面を組み合わせたこの時間は：
私たちだけに、言及した（\ * I）\この計算は以下のように理解される行動、私たちはこのチャートを通じて行動のこの種のを見ていると感じる：実数が2回連続してこの動作を適用され、それが1となり-1。2つの貫通当社こと\（* I \） 、この動作のは、複素平面における実数1は、その手段、180°回転し、\（* I \）この動作は実際には反時計回りに回転させます90°、実数ので、ダイエット与えられ、複素平面における数学の複数の軸の正方向は、と定義される理由の反時計回りに\（*私は\）反時計回りに90°回転が落ちます位置\（（0、I）\） 。
学習された\（* I \）反時計方向90に回転させる度、バック\（E ^ {それ} \ ） 関数：
私たちは、位置の出力値の動きの出力速度の関数が常に垂直であることを発見しました！常に位置（ここでは位置ベクトルとして理解することができる）垂直速度はどのようなスポーツになりますか？明らかに、円を描きます。
\（T = 0 \）場合、\（E ^ {IT} = 1 \） 、上記を通じた初期状態であり、この式は、単位円の単位回転当たり約1の割合を意味します場合\（T = \ PI \） 、すなわち、180°回転したとき-1場合\（T = 2 \ PI \ ） 、次いでひとつターンオン。
