数学モデル（補間、フィッティング、微分方程式）-pythonの実装

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質問1車両の推定数

タイトル説明

交通管理部門は、橋梁の交通状況を把握するため、橋梁の一端で1分以内に通過する車両の数をさまざまな間隔で継続的に記録し、通過する車両を24時間継続的に監視しています。車両データを下表に示します。日中に橋を渡った車両の数を分析および推定するためのモデルを構築してみてください。

Pythonの実装（キープログラム）

def get_line(xn, yn):
        def line(x):
                index = -1
                # 找出x所在的区间
                for i in range(1, len(xn)):
                        if x <= xn[i]:
                                index = i - 1
                                break
                        else:
                                i += 1
                if index == -1:
                        return -100
                # 插值
                result = (x - xn[index + 1]) * yn[index] / float((xn[index] - xn[index + 1])) + (x - xn[index]) * yn[
                        index + 1] / float((xn[index + 1] - xn[index]))
                return result
        return line
time = [0, 2, 4, 5, 6, 7, 8,
        9, 10.5, 11.5, 12.5, 14, 16, 17,
        18, 19, 20, 21, 22, 23, 24]
num = [2, 2, 0, 2, 5, 8, 25,
        12, 5, 10, 12, 7, 9, 28,
        22, 10, 9, 11, 8, 9, 3]
# 分段线性插值函数
lin = get_line(time, num)
# time_n = np.arange(0, 24, 1/60)
time_n = np.linspace(0, 24, 24*60+1)
num_n = [lin(i) for i in time_n]
sum_num = sum(num_n)
print("估计一天通过的车辆：%d" % sum_num)

結果

質問2中古車の平均価格

タイトル説明

ある年の米国の中古車価格の調査データを下の表に示します。ここで、${バツ}_{私}$車が使用された年数を表します、$Y_{私}$対応する平均価格を表します。表に示されているデータにどのような曲線が当てはまるかを分析し、4。5年の使用後の車の平均価格を予測してみてください。

Pythonの実装（キープログラム）

from scipy.optimize import curve_fit
def func(x, a, b, c):  # 指数函数拟合
    return a * (b**(x-1)) + c

year = np.arange(1, 11, 1)
price = [2615, 1943, 1494, 1087, 765, 538, 484, 290, 226, 204]

popt, pcov = curve_fit(func, year, price)
a = popt[0]
b = popt[1]
c = popt[2]
price_fit = func(year, a, b, c)

結果

問題3微分方程式を解く

タイトル説明

次の微分方程式の数値解を求めます（垂直加熱プレートの自然対流）
$\{\begin{array}{l}\frac{d^3、\; f}{D{\eta }^3}+3f\frac{d^2、\; f}{D{\eta }^2}-2{（（\frac{DF}{D\eta }）}^2+T=0\\ \frac{d^2トン}{D{\eta }^2}+2。1f\frac{DT}{D\eta }=0\end{array}$
η= 0の場合\ eta = 0であることが知られてい$インクルード=0時間$、$f=0、\frac{DF}{D\eta }=0、\frac{d^2、\; f}{D{\eta }^2}=0。68、T=1、\frac{DT}{D\eta }=-0。5。$ [0,10]間隔の数値解に示すクレーム曲線。

Pythonの実装（キープログラム）

from scipy.integrate import solve_ivp
def natural_convection(eta, y):  # 将含有两个未知函数的高阶微分方程降阶，得到由2+3个一阶微分方程组成的方程组
    T1 = y[0]
    T2 = y[1]
    f1 = y[2]
    f2 = y[3]
    f3 = y[4]
    return T2, -2.1*f1*T2, f2, f3, -3*f1*f3 + 2*(f2**2)-T1

eta = np.linspace(0, 10, 1000)
eta_span = [0, 10]
init = np.array([ 1, -0.5, 0, 0, 0.68])

curve = solve_ivp(natural_convection, eta_span, init, t_eval=eta)

結果

質問4野ウサギの数

タイトル説明

ある地域で9年連続（単位：100,000）のうさぎの数を次の表に示します。t= 9、10でのうさぎの数を予測します。

Pythonの実装（キープログラム）

import numpy as np

year = np.arange(0, 9, 1)
num = [5, 5.9945, 7.0932, 8.2744, 9.5073, 10.7555, 11.9804, 13.1465, 14.2247]

fit = np.polyfit(year, num, 1)
print("线性拟合表达式：", np.poly1d(fit))
num_fit = np.polyval(fit, year)
plt.plot(year, num, 'ro', label='原始数据')
plt.plot(year, num_fit, 'b-',label='拟合曲线')
year_later = np.arange(8, 11, 0.5)
num_fit_curve = fit[0] * year_later + fit[1]

結果