[数学] Cardano メソッドを使用して単項 3 次方程式を解き、Python で実装する

【参考】

• Cardano のメソッドを使用した 3 次方程式の解法入門
• Cardano による解決法
• カルダノメソッドパッケージをダウンロードする
• x^3+1=0 の解法問題、3次方程式逆関数問題
• Micorsoft-Math-solver Microsoft Math Tool
• WolframAlpha: 逆関数/逆関数
• Baidu 百科事典 - 3 次方程式の根を求める公式

【問題の説明】

1 つの変数で 3 次方程式を解く

1 つの変数で 3 次方程式を解きます:
$$\times {\_}^3+bx{\_}^2+cx\_+d=0$$

これを解決するには多くの方法がありますが、Cardano メソッドによって得られる解決策は次のとおりです。

単項 3 次多項式: $y=f\left(x\right)=\times {\_}^3+bx{\_}^2+cx\_+d$ =>$\times {\_}^3+bx{\_}^2+cx\_+d-y=0$

【コード】

既製のパッケージ Cardano_method

• Python パッケージを使用できます: install cardano_method[ここを参照]

  pip install cardano_method
  

  このパッケージの使用法:CubicEquation最初のパラメーター リストに対応する関数は次のとおりです。[a, b, c, d]これは、方程式の係数を解くことです。

  from cardano_method.cubic import CubicEquation
  a = CubicEquation([1, 3, 4, 4])
  print(a.answers)  # j表示虚部后缀
  # [(-2+0j), (-0.5+1.322875j), (-0.5-1.322875j)]
  print(a.answers[0].real)  # 获取第一个解的实部
  print(a.answers[0].imag)  # 获取第一个解的虚部
  

  しかし、問題が見つかりました。方程式${バツ}^3+1=0$の場合、エラー レポートの分母は 0: ですZeroDivisionError。

  a = CubicEquation([1, 0, 0, 1])
  

  
  しかし実際には、${バツ}^3+1=0$の解は次のとおりです:${バツ}_{}=-1$ ,${バツ}_{}=\frac{}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ ,${バツ}_{}=\frac{}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$（这里$iは$虚数を表します。）パッケージのバグを解決する方法を詳しく知りたいですか?

計算式に従って解決策のコードを書きます

1. 解関数は、解に対応する式に従って記述できます。 [注: 浮動小数点計算について質問がありますか? 】

   def cardano_solution_v0(a, b, c, d):
       ab = -b/float(3*a)
       q = (3*a*c-(b**2)) / (9*(a**2))
       r = (9*a*b*c-27*(a**2)*d-2*(b**3)) / (54*(a**3))
       delta_sqrt = (q**3+r**2)**(1.0/2)
       
       s = (r+delta_sqrt)**(1.0/3)
       t = (r-delta_sqrt)**(1.0/3)
       imag = complex(0, (s-t)*(3**(1.0/3))/2)
       x1 = s+t+ab
       x2 = -(s+t)/2+ab+imag
       x3 = -(s+t)/2+ab-imag
       return x1, x2, x3
   

   テストの変更では浮動小数点が保持されていますが、まだ問題があります。cardano_methodパッケージの結果と一致していますか? ? ? [注:どちらにcardano_solution_v0もcardano_solution_v1問題がありますが、正しい解決策については、次の関数を参照してください。cardano_solution】

   def round_ri(xo, n=4):
       xr, xi = round(xo.real, n), round(xo.imag, n)
       if xi == 0:
           return xr
       else:
           return complex(xr, xi)
   
   def cardano_solution_v1(a, b, c, d):
       ab = -b/float(3*a)
       q = (3*a*c-(b**2)) / (9*(a**2))
       r = (9*a*b*c-27*(a**2)*d-2*(b**3)) / (54*(a**3))
       delta_sqrt = round((q**3+r**2)**(1.0/2), 4)
       
       # print("r, delta_sqrt:", r, delta_sqrt, round(r-delta_sqrt, 4))
       s = round((r+delta_sqrt)**(1.0/3), 8)
       t = round(r-delta_sqrt, 4)**(1.0/3)
       print("st,ab:", s, t, ab)
       imag = complex(0, (s-t)*(3**(1.0/3))/2)
       x1 = s+t+ab
       x2 = -(s+t)/2+ab+imag
       x3 = -(s+t)/2+ab-imag
       return round_ri(x1), round_ri(x2), round_ri(x3)
   

   式そのものが間違っているのでしょうか？それとも浮動小数点/基数の問題でしょうか? もう一度確認する必要があります。。。

2. 他の数式をテストする: Baidu Encyclopedia - 単項 3 次方程式の根を求める公式

   これは、1 次元 3 次方程式の係数が複素数の場合、カルダノの公式に問題があり (何が問題なのか?)、次の一般的な根を求める公式が使用されることを意味します。
   

   def cardano_solution(a, b, c, d):
       #u = round((9*a*b*c-27*(a**2)*d-2*(b**3)) / (54*(a**3)), 4)
       #v = round(3*(4*a*c**3 - b**2*c**2-18*a*b*c*d+27*a**2*d**2+4*b**3*d) / (18**2*a**4), 4) ** (1.0/2)
       u = (9*a*b*c-27*(a**2)*d-2*(b**3)) / (54*(a**3))
       v = (3*(4*a*c**3 - b**2*c**2-18*a*b*c*d+27*a**2*d**2+4*b**3*d) / (18**2*a**4)) ** (1.0/2)
       if abs(u+v) >= abs(u-v):
           m = (u+v) ** (1.0/3)
       else:
           m = (u-v) ** (1.0/3)
       if m == 0: 
           n == 0
       else:
           n = (b**2-3*a*c) / (9*a**2*m)
       # w = complex(0, -0.5+(3/4)**(1.0/2))
       # w2 = complex(0, -0.5-(3/4)**(1.0/2))
       w = -0.5+(-3/4)**(1.0/2)
       w2 = -0.5-(-3/4)**(1.0/2)
       ab = -b/float(3*a)
       x1 = m+n+ab
       x2 = w*m+w2*n+ab
       x3 = w2*m+w*n+ab
       # return x1, x2, x3
       return round_ri(x1), round_ri(x2), round_ri(x3)
   

   テスト結果cardano_solutionとcardano_methodパッケージを照合し、${バツ}^3+1=0$問題ありません:

   print(cardano_solution(1,3,4,4))
   print(cardano_solution(1,0,0,-1))
   print(cardano_solution(1,0,0,1))
   # ((-0.5+1.3229j), -2.0, (-0.5-1.3229j))
   # (1.0, (-0.5+0.866j), (-0.5-0.866j))
   # ((0.5+0.866j), -1.0, (0.5-0.866j))
   
   print(CubicEquation([1,3,4,4]).answers)
   print(CubicEquation([1,0,0,-1]).answers)
   print(CubicEquation([1,0,0,1]).answers)  # 报错
   # [(-2+0j), (-0.5+1.322875j), (-0.5-1.322875j)]
   # [(1+0j), (-0.5+0.866025j), (-0.5-0.866025j)]
   # ZeroDivisionError ...
   

【まとめ】

• 公式に従って自分で書いた関数はcardano_solution単項三次方程式を解くことができます。
• ダウンロードしたパッケージcardano_methodと、Cardano 式を使用して直接記述された関数に問題があります。なぜなら？

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P.S. Python は複素数の実数部と虚数部を取得します。接尾辞を使用してj虚数を表します。たとえばa+bj、middleaは実数部であり、b虚数部は Python でcomplex(a,b)複素数を生成するために使用されます。

x = 2+1.5j
print(x.real)  # 打印实部：2
print(x.imag)  # 打印虚部：2
x1 = complex(2,1.5)  # 使用`complex`生成复数 2+1.5j