Part.I はじめに
このブログ投稿には、2 乗または高次のべき乗に関連する数学で一般的に使用されるいくつかの公式が記録されています。
第I章 いくつかの結論
次のセクションでは、いくつかの重要な結論を要約します。
- 完全二乗公式: ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 ab + b 2 (a±b)^2=a^2±2ab+b^2( _±b )2=ある2±2腹筋+b2
- 二乗差の公式: a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) a^2-b^2=(a+b)(ab)ある2−b2=( _+b ) ( a−b )
- 三次公式: ( a ± b ) 3 = a 3 ± 3 a 2 b + 3 ab 2 ± b 3 (a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3( _±b )3=ある3±3a _2b _+3 a b2±b3
- 三次方和的公式： a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) ある3+b3=( _+b ) ( a2−腹筋+b2 )
- 3次分散の公式: a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) a^3-b^3=(ab)(a^2+ab+b^2)ある3−b3=( _−b ) ( a2+腹筋+b2 )
- 立方体の和から 3 つの数値の積を引いたもの: a 3 + b 3 + c 3 − 3 abc = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac ) a^3+b^ 3 +c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)ある3+b3+c3−3 ABC _=( _+b+c ) ( a2+b2+c2−腹筋−bc _−a c )
- 二項定理: ( a + b ) n = C n 0 an + C n 1 a ( n − 1 ) b + ⋯ + C nka ( n − k ) bk + ⋯ + C nnbn (a+b)^n =C ^0_na^n+C^1_na^{(n-1)}b+\cdots+C^k_na^{(nk)}b^k+\cdots+C^n_nb^n( _+b )n=Cn0あるn+Cn1ある( n − 1 ) b+⋯+Cnｋある( n − k ) bk+⋯+Cnんbn
Part.II 2項のn乗
第1章とn乗差（二項定理）
( a + b ) 2 = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab +b^2( _+b )2=ある2+腹筋+ば+b2=ある2+2腹筋+b2この完全な平方式は誰もがよく知っているはずです。しかし、それを拡張したい:nnn項とnnn乗はどうやって表すのでしょうか？
2 つの異なる項目のnnを見てみましょうn 次方： ( a + b ) n (a+b)^n ( _+b )n、この展開項には既製の公式、つまり二項定理があります。
( a + b ) n = C n 0 an + C n 1 a ( n − 1 ) b + ⋯ + C nka ( n − k ) bk + ⋯ + C nnbn (a+b)^n=C^0_na^ n+C^1_na^{(n-1)}b+\cdots+C^k_na^{(nk)}b^k+\cdots+C^n_nb^n( _+b )n=Cn0あるn+Cn1ある( n − 1 ) b+⋯+Cnｋある( n − k ) bk+⋯+Cnんbn
- 二項係数: C nk ( k = 0 , ⋯ , n ) C^k_n\ (k=0,\cdots,n)Cnｋ ( k=0 、⋯、n )
- 二項一般式: C nka ( n − k ) bk C^k_na^{(nk)}b^kCnｋある( n − k ) bkは展開内の+ 1 k+1k+1項の場合、その一般式は次のように記述できます。T k + 1 = C nka ( n − k ) bk T_{k+1}=C^k_na^{(nk)}b^kTk + 1=Cnｋある( n − k ) bk
第Ⅱ章 n乗の和と差
n次方差之差公式：
a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 3 + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 ) a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^3+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}) あるn−bn=( _−b ) ( an − 1+あるn − 2 b+あるn − 3 b3+⋯+ab _n − 2+bn − 1 )
n乗の和の公式。n が奇数の場合、
an + bn = ( a + b ) ( an − 1 − an − 2 b + an − 3 b 3 + ⋯ − abn − 2 + bn − 1 ) a^n+b^n=( a +b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^3+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1 } )あるn+bn=( _+b ) ( an − 1−あるn − 2 b+あるn − 3 b3+⋯−ab _n − 2+bn − 1 )
n が偶数の場合、n 乗和の公式は存在せず、実際には n が偶数の場合、
an − bn = ( a + b ) ( an − 1 − an − 2 b + an − 3 b 3 + ⋯ − abn − 2 + bn − 1 ) a^nb^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n- 3}b^3+\ cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})あるn−bn=( _+b ) ( an − 1−あるn − 2 b+あるn − 3 b3+⋯−ab _n − 2+bn − 1 )
つまり、n が偶数の場合、an − bna^nb^nあるn−bnには 2 つの式があり
Part.III n 個の異なる項の平方
nを考慮してくださいn個の個別項の 2 乗:( a + b + c + ⋯ ) 2 = ? (a+b+c+\cdots)^2=?( _+b+c+⋯)2=?
ここでは、展開後の各項目の具体的な内容は気にしません。まず、 ( a + b ) 2 (a+b)^2のように展開できる項目の数に注目します。( _+b )2展開後、整理しないと4つある4 つの項目を並べ替えると、3 33項目。なぜソート前とソート後を区別するのでしょうか? 特定の演算規則の下では、行列の乗算などの乗算には交換法則が存在しないためです。以下に表を示します。
| さまざまなアイテムの数 | 展開前 | 拡張された |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 9 | 6 |
| 4 | 16 | 10 |
| 5 | 25 | 15 |
| … | ||
| んn | n 2 n^2n2 | C n 2 + n C^2_n+nCn2+n |
Part.IV 1 つの変数で高次の方程式を解く
第I章 初等・中等
1 変数の線形方程式(1 変数の線形方程式とも呼ばれます)
a 1 x + x 0 = 0 ( a 1 ≠ 0 ) a_1x+x_0=0\ (a_1\neq 0)ある1バツ+バツ0=0 ( _ 1=0) 解为 x = − a 0 / a 1 x=-a_0/a_1 バツ=− _0/ _1
単項二次方程式
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)× _2+bx _+c=0 ( _=0 )解はx = − b ± b 2 − 4 ac 2 ax=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}バツ=2a_ _− b ±b2 −4ac
判別式：Δ = b 2 − 4 ac \Delta=b^2-4acD=b2−紀元前4年_
- Δ > 0 \デルタ>0D>0 : 方程式には 2 つの等しくない実根があります
- Δ = 0 \デルタ=0D=0 : 方程式には 2 つの等しい実根があります。
- Δ < 0 \デルタ<0D<0 : 方程式には 2 つの等しくない虚数根があります。
ヴェーダの定理: x 1 , x 2 x_1,x_2とします。バツ1、バツ2は方程式の 2 つの根です
- x 1 + x 2 = − ba x_1+x_2=-\frac{b}{a}バツ1+バツ2=−あるb
- x 1 ⋅ x 2 = ca x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}バツ1⋅バツ2=あるc
第II章 単項3次方程式
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0 ) ax^3+bx^2+cx+d=0 (a\neq 0)× _3+bx _2+cx _+d=0 ( _=0 )
一般的に使用される解決策は、1545 年にイタリアの学者カルダンによって発表されたカルダン公式法です。
特殊な形式の根計算式 x 3 + px 2 + q = 0 x^3+px^2+q=0バツ3+ピクセル_2+q=0
一般的なカルダン法による根探索公式
ps: これは百度百科事典からのものですが、具体的な派生については後で説明します。
第III章 1変数の4次方程式
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 ( a ≠ 0 ) ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (a\neq 0)× _4+bx _3+cx _2+dx _+e=0 ( _=0 )
1 つの変数の二次方程式の根を求める公式は、イタリアの数学者フェラーリによって初めて証明されました。単項 3 次方程式は、要素を巧みに交換した後、問題を 1 次元の 2 次方程式に還元することで解決されます。したがって、一次元の四次方程式を工夫して一次元の三次方程式や一次元の二次方程式に変換することができれば、既知の公式を利用して解くことができる。
ps: この式は比較的長いので、詳細については Baidu 百科事典を参照してください。