ここでは、AGハミルトンの「数理論理学」の表記を使用します。
原子記号：
〜、->、p1、p2...。
数式セット：
piは数式です。AとBが数式の場合、〜AとA-> Bも数式です。
式が複雑すぎる場合もあります。∧、∨、<->を使用して式を簡略化することもできます。〜（A-> 〜B）を表すためにA∧Bを使用し、〜Aの代わりにA∨Bを使用することが規定されています。 -> B、（A-> B）∧（B-> A）の代わりにA <-> Bを使用します。これは原子記号ではなく、適用された場合の単なるマクロ置換であることに注意してください。
公理型：
L1：A->（B-> A）
L2：（A->（B-> C））->（（A-> B）->（A-> C））
L3：（〜A -> 〜B）->（B-> A）
定理セット：
すべての公理は定理に属します。
1.置換ルール
定理モードの文字を数式に置き換え、同じ文字を保持して同じ数式に置き換えると、最終的な数式が定理になります。例：
L1で、Aをp1-> p1に、Bをp2に置き換え、定理（p1-> p1）->（p2->（p1-> p1））を取得します
。2。後続のルール（MPルール）
AとA-> Bが定理である場合、Bは定理です
例子：证明A-> A是定理。
证：
（1）A->（（A-> A）-> A）....................。 ....................... L1
（2）（A->（（A-> A）-> A））->（（A-> （A-> A））->（A-> A））..... L2
（3）（A->（A-> A））->（A-> A）..... .. ..................（1）（2）MP
（4）A->（A-> A）............。 ................................... L1
（5）（A-> A）....。 .........................................（3）（4）MP
定理A-> AをL4として覚えておきたいかもしれません
演繹定理：
Γが式のセットであり、公理であると仮定します。Bが置換規則と演繹規則によって演繹でき、Bが演繹シーケンスの最後の式である場合、ΓはBを演繹します。 B、AがΓの単一性である場合、Γ-{A} => A-> B、またはその逆の場合、証明は省略されます。
例：証明{A-> B、B-> C} => A-> C
証明書：
（1）A-> B .........................。 ................仮定
（2）B-> C.........................。 ..............................。仮定
（3）A.............。 .................... .......仮定
（4）B.................。 .......... ...........................（1）（3）MP
（5）C。.. ................................。 ...（2）（4）MP
したがって、{A-> B、B-> C、A} => C、演繹定理{A-> B、B-> C} => A-> Cから、このルールを架空の3つの部分と呼びます。HSルールとして記録されます。
演繹定理を使用する場合は、置換規則を使用できないという仮定に注意してください。そうしないと、仮定の前提が変更されます。
置換：
（□->□）->□の各スペースに数式を作成するための文字を入力します。オプションはいくつありますか？
回答：
(A->(B->C))
(A->(B->B))
(A->(A->B))
(A->(B->A))
(A->(A->A))（注：ここのすべての文字は同じステータスであるため、（A->（B-> B））と（B->（C-> C））は同じ種類に属します
（（□->□）->□）-> Aの各スペースに文字構成式を記入します。ここで（□->□）->□解はいくつですか？
回答：
(A->(A->A))
(B->(A->A))
(A->(B->A))
(B->(C->A))
(B->(B->A))
(A->(A->B))
(B->(A->C))
(B->(A->B))
(A->(B->C))
(A->(B->B))
(B->(C->D))
(B->(C->C))
(B->(B->C))
(B->(C->B))
(B->(B->B)) 。（注：B、C、Dのステータスは同じですが、ステータスはAとは異なります。
练习：
证明下列定理：
1。（A-> B）->（A->（C-> B））
2.（A->（B-> C））->（B->（A-> C））
3.A-> ~~ A
4.（A-> B）->（〜B-> 〜A ）5.〜A
->（A-> B）
6.（A-> 〜A） -> A
7。（（A-> B）-> A）-> A 8.〜（
（〜（A-> A）-> B）->〜（A-> A））
9.A∨（ B∧C）->（（A∨B）∧（A∨C））
10。（（D-> B）->（A-> D））->（（（A-> B）-> C ）->（（D-> B）-> C））
11。（（〜A-> A）->（B-> 〜A））->（（〜A-> A）->（B- > C））
12。（（（A->（A-> B））-> B）-> C）->（（（A-> B）-> B）-> C）
13。（（（ A->（B-> B））-> C）->（（A-> D）-> C））
14。（（A->（（〜B-> C）-> D））-> （A->（~~ B-> D）））
15.（A->（B-> C））->（A->（（（C-> D）-> B）->（（C ->D）-> D）））
回答：
各行の表示は比較的長く、携帯電話ではあまり良くありませんので、パソコンで読むことをお勧めします。
1.（A-> B）->（A->（C-> B））
证明：
（1）B->（C-> B）..............。 .................................................。 .................................................。 ................. L1
（2）（B->（C-> B））->（A->（B->（C-> B））） .................................................。 .................................. L1
（3）（A->（B->（C-> B））..............................................。 .................................................。 ..........（1）（2）MP
（4）（A->（B->（C-> B））->（（A-> B）->（A-> （C-> B）））.........................................。 ........................... L2
（5）（（A-> B）->（A->（C-> B） ）................................................。 ................................................（3 ）（4）MP
2.（A->（B-> C））->（B->（A-> C））
证明1：
（1）（（A->（B-> C））->（（A- > B）->（A-> C）））->（（A->（B-> C））->（B->（（A-> B）->（A-> C））） ）....习题1
（2）（A->（B-> C））->（（A-> B）->（A-> C））..........。 .................................................。 ................................. L2
（3）（A->（B-> C））-> （B->（（A-> B）->（A-> C）））............................。 ........................................（1）（2）MP
（4） （（B->（（A-> B）->（A-> C）））->（（B->（A-> B））->（B->（A-> C））） ................................ L2
（5）（A->（B-> C））->（ （B->（A-> B））->（B->（A-> C）））........................。 ................（3）（4）HS
（6）（5）->（（A->（B-> C））->（B->（ A-> B）））->（（A->（B-> C））->（B->（A-> C））））.......................... L2
（7）（（A->（B-> C））->（B->（A-> B）））->（（A->（B-> C）） ->（B->（A-> C）））.............................（5）（6）MP
（8）（B->（A-> B））...................................。 .................................................。 ............................................ L1
（9）（8 ）->（（A->（B-> C））->（8））............................。 .................................................。 ......................... L1
（10）（A->（B-> C））->（B->（A-> B））..............................................。 ........................................（8）（9）MP
（11） （A->（B-> C））->（B->（A-> C））.........................。 .................................................。 ...........（7）（10）MP
証明2：
（1）A..........................................。 .................................................。 .................................................。 ....仮定
（2）B........................................。 .................................................。 .................................................。 ...仮定
（3）（A->（B-> C））...............................。 .................................................。 .......................................仮定
（4）B-> C..。 ...............................................。 ...............................................。 .............................（1）（3）MP
（6）C .........。...............................................。 ...............................................。 .............................（2）（4）MP
（7）A-> C..........................................。 ..............................................。 .... .......................................（1）（6）控除
（8）（B->（A-> C）....................................。 ..............................................。 .... ........................（2）（7）控除
（9）（A->（B-> C））- >（B->（A-> C））............................................。 ................................（3）（8）控除
3.A-> ~~ A
（1）~~ A->（~~~~ A-> ~~ A）.....................。 .................................................。 ............................. L1
（2）（~~~~ A-> ~~ A）->（〜A -> ~~~ A）..........................................。 ........................................ L3
（3）（〜A->〜 ~~ A）->（~~ A-> A）...................................。 .................................................。 ...... L3
（4）~~ A->（~~ A-> A）..........................。 .................................................。 ........................（1）（2）（3）HS
（5）（~~ A->（~~ A-> A ））->（（~~ A-> ~~ A）->（~~ A-> A））.......................。 ........................... L2
（6）（~~ A-> ~~ A）->（~~ A-> A ）................................................。 ........................................。（4）（5）MP
（7）（~~ A-> ~~ A）....................................。 .................................................。 ...................... L4
（8）（~~ A-> A）..................。 .................................................。 ...........................................（6）（7）MP
（9）（~~~ A-> 〜A）....................................。 .................................................。 ......................（8）
（10）（~~~ A-> 〜A）->（A-> ~~ A）.. .................................................。 ........................................... L3
（11）A-> ~~ A..............................................。 .................................................。 ............（9）（10）MP
4.（A-> B）->（〜B-> 〜A）
証明：
（1）A-> B......................。 .................................................。 ..........................仮定
（2）~~ A-> A.............。 .................................................。 ....................................... .....演習3（8）
（ 3）B-> ~~ B.........................................。 .................................................。 。演習3
（4）~~ A-> ~~ B...................................。 .................................。 .......................（1）（2）（3）HS
（5）（~~ A-> ~~ B）->（〜 B-> 〜A）.............................................。 ............. ............................... L3
（6）（〜B-> 〜A）......................................。 .................................................。 ....................（4）（5）MP
（7）（A-> B）->（〜B-> 〜A）...。 .................................................。 .........................................（1）（6）控除
5.〜A ->（A-> B） 证明1：
（1）（〜B- > 〜C）->（C-> B）..... .. .................................................。 .............................. L3
（2）（（〜B-> 〜C）->（C-> B ））->（A->（（〜B-> 〜C）->（C-> B）））......................。 ......... L1
（3）A->（（〜B-> 〜C）->（C-> B））.....。 .................................................。 ..........（1）（2）MP
（4）（A->（（〜B-> 〜C）->（C-> B）））->（（A-> （〜B-> 〜C））->（A->（C-> B）））L2
（5）（A->（〜B-> 〜C））->（A->（C-> B））..............................................。 ............（3）（4）MP
（6）（〜A->（〜B-> 〜A））->（〜A->（A-> B）） .................................................。 ......................（5）
（7）（〜A->（〜B-> 〜A））................................。 .................................................。 ............ L1
（8）（〜A->（A-> B））.....................。 .................................................。 ....................... 6）（7）MP
证明2：
（1）（〜A->（〜B- > 〜A））.............................。 .................................................。 .............. L1
（2）（〜B-> 〜A）->（A-> B）.....。 .................................................。 ............................ L3
（3）（〜A->（A-> B））.....。 .................................................。 ......................................（1）（2）HS
证明3：
（1）（B->（〜A- > B）................................。 .................................................。 ..................... L1
（2）（〜A-> B）->（〜B-> ~~ A）......。 .................................................。 ..........................习题4
（3）B->（〜B- > ~~ A）......。 .................................................。 ..........................（1）（2）HS
（4）（B-> C）->（（A->（ B-> C））->（（A-> B）->（A-> C）））........................。 .............（B-> C）-> L2
（5）（4）->（（（B-> C）-（A->（B-> C）） ）->（（B-> C）-（（A-> B）->（A-> C）））.....................。 。L2
（6）（（（B-> C）-（A->（B-> C）））->（（B-> C）-（（A-> B）->（A-> C ）））.......................（4）（5）MP
（7）（（B-> C）-（（A-> B ）->（A-> C））...........。 ............................................................... L1 (6)MP
（8）（~~ A-> A）->（（〜B-> ~~ A）->（〜B-> A））................。 .......................................（7）
（9）（（〜B- > ~~ A）->（〜B-> A））->（（B->（〜B-> ~~ A））->（B->（〜B-> A）））..。 ................（7）
（10）（B->（〜B-> ~~ A））->（B->（〜B-> A）） .................................................。 ....（8）（9）HS习题3（8）
（11）（B->（〜B- > A）...................。 .................................................。 ....................（3）（10）MP6。（〜A-
> A）-> A
证明：
（1）〜A->（A -> B）.............................................。 .................................................。 ........习题5
（2）（1）->（（〜A- > A）->（〜A- > B））.............。 .................................................。 ................ L2
（3）（（〜A-> A）->（〜A-> B））............................。 .................................................。 ....（1）（2）MP
（4）（〜A-> B）->（〜B-> ~~ A）.................。 .................................................。 .................习题4
（6）（~~ A-> A）->（（〜B- > ~~ A）->（〜B- > A ））.....................................习题5证明3（7）
（7）（ （〜B-> ~~ A）->（〜B-> A））..............................。 ..................................习题3（8）、（6）MP
（8）（（〜 A-> A）->（〜B-> A））..................................。 .................................................（ 3）（4）（7）HS
（9）（（〜A-> A）-> 〜B）->（（〜A-> A）-> A）..........。 .................................................。 。（8）（L2）MP
（10）（（〜A-> A）-> ~~（〜A-> A））->（（〜A-> A）-> A）....。 ................。...（9）置換B〜（〜A-> A）
（11）（〜A-> A）-> A................................。 ......................................（10）、演習3 MP
7。（（A-> B）-> A）-> A
証明書：
（1）（A-> B）-> A）..................。 .................................................。 ...............仮定
（2）（〜A->（A-> B））..................。 ...................................。 .............................. ...問題5
（3）（〜A-> A）....。 ...................................。 .............................. .........（1）（2）HS
（4）（ 〜A-> A）-> A.........................................。 ...................................................。 ..........問題6
（5）A..................................。 ...................................................。 ................. ...（3）（4）MP
（6）（（A-> B）-> A）-> A................................。 .................................................。 ...........（1）（5）演绎8.〜
（（〜（A-> A）-> B）->〜（A-> A））
证：
（1）（ 〜（A-> A）-> B）->〜（A-> A）.............................。 .............................................假設定
（2）A -> A........................................................。 .................................................。 ................. L4
（3）〜B ->（A-> A）..................。 .................................................。 ......................（2）L1 MP
（4）〜B->（A-> A）->（〜（A-> A） -> ~~ B）............................................ ...........习题4
（5）〜（A-> A）-> ~~ B.....................。 .................................................。 .........。 （3）（4）MP
（6）~~ B-> B........................................。 .................................................。 .............习题3（8）
（7）〜（A-> A）-> B..................。 .................................................。 .....................（5）（6）HS
（8）〜（A-> A）...........。 .................................................。 ...................................（1）（7）MP
（9）（A-> A ）->（〜（A-> A）->〜（（〜（A-> A）-> B）->〜（A-> A）））...........。习题5
（10）（〜（A-> A）->〜（（〜（A-> A）-> B）->〜（A-> A）））.........。 ............（2）（9）MP
（11）〜（（〜（A-> A）-> B）->〜（A-> A））...。 .................................................。 ....（8）（10）MP
（12）（1）->〜（1）..........................。 .................................................。 ..........。 .........（1）（11）控除
（13）~~（1）->（1）....................................。 .................................................。 ..........（6）
（14）~~（1）->〜（1）......................。 .................................................。 .............（12）（13）HS
（15）（~~（1）->〜（1））->〜（1）.......。 .................................................。 ........................习题6
（16）〜（（〜（A-> A）-> B）->〜（A-> A））........................................................。 ......（14）（15）MP
9.A∨（B∧C）->（（A∨B）∧（A∨C））
補題1（A-> 〜B ）->（B-> 〜A）
補題2（〜A- > B ）->（〜B-> A）
証明書：
（1）（A-> 〜B）........................。 .................................................。 ..........仮定
（2）~~ B-> 〜A............................。 .....................................。（1）L3 MP
（3）B->〜 〜B...............................................。 ..................................... ...問題3
（4）B-> 〜A ...................................................。 ........................（2）（3）HS
（5）（A-> 〜B）->（B-> 〜A） ........................... ...（1）（4）推論、
補題2は同じ理由で証明できます
证明：
（1）（X-> Y）->（X-> Y）..............................。 .................................................。 ................ L4
（2）（（X-> Y）->（X-> Y））-> X->（（X-> Y）-> Y）.............................................习题2
（ 3）X->（（X-> Y）-> Y）.................................。 .................................................。 ..（1）（2）MP
（4）X->（（X-> 〜Y）-> 〜Y）.....................。 .................................................。 .............（3）
（5）（（X-> 〜Y）-> 〜Y）->（Y->〜（X-> 〜Y））..。 .................................................。 ..引理1
（6）X->（Y->〜（X-> 〜Y ））.........................。 .................................................。 .........（4）（5）HS
（7）〜C->（B-> 〜C）...................................。 ...................................................。 ... L1
（8）〜（B-> 〜C）-> C...............................。 ...................................................。 .....（7）補題2 MP
（9 ）〜B ->（B-> 〜C）...................。 .................................................。 .......................問題5
（10）〜（B-> 〜C）-> B..........。 .................................................。 .........................（9）補題2 MP
（11）〜A->（〜（B-> 〜C）-> C ）.........................................................。 ...................（8）L1 MP
（12）〜A->（〜（B-> 〜C）-> B）.....。 .................. ............................（10）L1 MP
（13）（〜A->〜（B-> 〜C））->（〜A-> C）.......................。 ..........................................（11）L2 MP
（14） （〜A->〜（B-> 〜C））->（〜A-> B）..........................。 .......................................（12）L2 MP
（15）（〜A -> B）->（（〜A-> C）->〜（（〜A-> B）->〜（〜A-> C）））............。 .......................................（6）
（16）（〜A-> 〜（B-> 〜C））->（（〜A-> C）->〜（（〜A-> B）->〜（〜A-> C）））.......。 ....（14）（15）HS
（17）（〜A-> C）->（（〜A->〜（B-> 〜C））->〜（（〜A-> B）- >〜（〜A-> C）））..........（16）习题2MP
（18）（〜A- >〜（B-> 〜C））->（（〜A ->〜（B-> 〜C））->〜（（〜A-> B）->〜（〜A-> C）））...（13）（17）HS
（19）（M- >（M-> N））->（M->（M-> N））............................。 ................................。.................... L4
（20）（M->（M-> N））->（（M-> M）->（M-> N））.................。 .......................（19）L2 HS
（21）（M->（M-> N））->（M-> M） .................................................。 ......................（L4）（L1）MP
（22）（M->（M-> N））->（M-> N ）..............................................（20） L2 MP再和（21）MP
（23）（〜A->〜（B-> 〜C））->〜（（〜A-> B）->〜（〜A-> C））..。 ........................................（18）（22）MP
（24） A∨（B∧C）->（（A∨B）∧（A∨C））........................。 .................................................。 ....（23）
10。（（D-> B）->（A-> D））->（（（A-> B）-> C）->（（D-> B）-> C））
证明：
（1 ）A->（（B->（C-> D））->（（B-> C）->（B-> D）））..............。 .......................................... L2、L1、MP
（2） （（A->（B->（C-> D）））->（A->（（B-> C）->（B-> D））））........。 .......................（1）、L2 MP
（3）（C-> D）->（（B-> C）->（ B-> D））.............................（2）中A用C-> D代、再与L1 MP
（4）（（C-> D）->（B-> C））->（（C-> D）->（B-> D））...........。 ..........................（3）、L2 MP
.................。 ....................♪（4）记是X-> Y
（5）（X-> Y）->（（A-> X）-> （A-> Y））..........................................。 .................................（3）
（6）（（A->（C-> D） ->（B-> C）））->（A->（（C-> D）->（B-> D）））............................。 。（4）（5）MP
（7）（B-> C）->（（C-> D）->（B-> D））............. .......（6） AはB-> Cに置き換えられ、次にL1 MP
...............（7）BではC-> D、CはB-> D、DはAからget
（8）（（C-> D）->（B-> D））->（（（B-> D）-> A）->（（C> D）-> A））
（9） （（C-> D）->（B-> C））->（（（B-> D）-> A）->（（C> D）-> A））......。 ..................（4）（8）HS
... ...（9）（9）では、CはDに置き換えられ、DはBに置き換えられます。 、BはAに置き換えられ、AはCに置き換えられて、
（10）（（D-> B）->（A-> D））->（（（A-> B）-> C）-> （（D-> B）-> C））