羅区P1306フィボナッチ条約（数論+証明）

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タイトル効果：__gcd（F [N]、F [M]）％の1E8を求めて、あなたにM（1 <= N、M <= 1E9）Nを得ました。

まず第一に、私は数論の定理を提案するためにここにいます：__ GCD（F [N]、F [M]）= F [__ GCD（N、M）]。

この事実を知って、定理は非常に容易になる数論では、この問題は、単にN、M、及び1E8にモジュロの行列Fを[__ GCD（N、M）]を用いて加速要求の最大公約数を必要とします。

しかし、なぜ定理は正しいでしょうか？

動作保証は次の通り：

提供N <M、及びF. [N-] = A、F. [N- + 1] = B

　　　　　F [N + 2] = A + B

　　　　　F [n + 3] = A + 2 * B = F [N] + 2×F [N + 1]

　　　　　F [N + 4] = 2 * + 3 * B = 2 * F [N] + 3 * F [N + 1]

　　　　　F [N + 5] = 3 * + 5 * B = 3 * F [N] + 5 * F [N + 1]

　　　　　...

難しい見つけるためにF [N + X] = F [X-1] * F [N] + F [X] * F [N + 1]

　　　　　F [M] = F [MN-1] * F [N] + F [MN] * F [N + 1]

所以__gcd（F [N]、 F [M]）= __ GCD（F [N]、 F [MN-1] * F [N] + F [MN] * F [N + 1]）。

以降　F [MN-1] * F [N]％F [N] == 0

従って　__gcd（F. [N-]、F. [M]）= __ GCD（F. [N-]、F. [マンガン] F. * [N- + 1]）。

この式から、単一のは何も表示することは困難である一方で、この式は、単純化して行くことは困難であるため、証明道路はその後、我々は別の補題を必要とする、ここにこだわっているようだ：__ GCD（F [N] 、F [N + 1]）= 1。

補題の証明は比較的簡単です：

　　__gcd（F [N]、F [N + 1]）= __gcd（F [N]、F [N] + F [N-1]）

　　　　　　　　　　　　 = __gcd（F [N]、F [N-1]）

　　　　　　　　　　　　 = __gcd（F [N-1] + F [N-2]、F [N-1]）

　　　　　　　　　　　　 = __gcd（F [N-2]、F [N-1]）

　　　　　　　　　　　　 ......

　　　　　　　　　　　　 = __ GCD （F [1]、F [2]）= 1

我々は描画__gcd（F [N]、Fが [N + 1]）= 1 の後に続けることができる__gcd（F. [N-]、F. [M]）= __gcd（F. [N-]、F. [マンガン] *簡略化のためにF [N + 1]）

最後__gcd（F. [N-]、F. [M]） = __gcd（F. [N-]、F. [マンガン]）

　　　　　　　　　　　 = __gcd（F [N]、F [Mの％のN]）

　　　　　　　　　　　 ......

　　　　　　　　　　　 = F [ __gcd（N、M ）]

このように、完了の証明〜

次のコードは、このトピックAC上に置かれています

#include <ビット/ STDC ++ H> 使用して名前空間STDを、
typedefの長い長いLL。
ペアのtypedef < int型、int型 > PII。
const int型 MAXN = 1E6 + 10 。
constのダブル EPS = 1E- 12 ;
constの LL MOD = 1E8; 
LL N、MM。構造体マット{ 
    LL M [ 5 ] [ 5 ]。
    マット（）{ 
        memsetの（M、0、はsizeof （M））。
    } 
    インラインボイド

 
   

ビルド（）{
         ため（INT iは= 1 ; I <= 2 ; I ++）M [i]は[I] = 1 。
    } 
}。

マットムル（マットは、マットのY、X）{ 
    マットC。
    以下のために（INT iは= 1 ; I <= 2 ; I ++ ）
         のための（INT J = 1 ; J <= 2、J ++ ）
             のための（INT K = 1 ; K <= 2 ; K ++ ）
                CM [j]を[I] = （CM [J] [I] + XM [J] [K] * YM [K] [I]％MOD）％のMOD。
    リターンC; 
} 

マットpoww（マットLLのY、X）{ 
    マットAA; aa.build（）。
    一方、（Y）{
         場合（Y＆1）AA = ムル（AA、X）。
        X = ムル（X、X）。
        Y >> = 1 。
    } 
    戻りAA。
} 

int型のmain（）
{ 
    scanf関数（" ％LLD％LLD "、＆N、＆MM）。
    LL P = __gcd（N、MM）。
    AM [ 1 ] [ 1 ] = AM [ 2 ] [ 1 ] = AM [ 1 ] [ 2 ] =1 ; 
    マットANS = poww（P- 1 ）。
    printf（" ％のLLD "、ans.m [ 1 ] [ 1 ]）。
}

羅区P1306フィボナッチ条約（数論+証明）

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