DM@数理論理学@命題式とその代入@真理値表@式の分類

抽象的な

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命題式とその代入

命題定数

• 単純命題は命題論理の最も基礎的な研究単位であり、その真理値式が決定され、命題定数または命題定数と呼ばれます。
• 命題定数は初等数学の定数(0,1)に相当します。

命題変数

• 初等数学の変数に対応して、命題論理には次のものがあります。 値が 1 (真) または 0 (偽) の変数は、命題変数または命題変数と呼ばれます。
• 命題変数を使用して、真理値を変更できる宣言文を表現します
• 命題変数は命題ではなく、命題定数との関係は初等数学における変数と定数の関係と同じです。

命題式

整形式（命題式）

• ある論理関係に従って、接続詞と括弧を使用して命題を偽装した形式で接続する記号列を整形式式と呼びます
• 単一の命題変数は整形式であり、原子命題式と呼ばれます。

基本的な接続詞を修飾するための適切な公式の定義

• 接続集合{ ã 、 ∨ 、 ∧ 、 → 、 ↔ \neg,\vee,\wedge,\to,\leftrightarrow を使用する場合 $ã、\vee 、\wedge 、\to 、\leftrightarrow$ }、整形式の式定義 (再帰的定義) は次のとおりです。
  1. 単一の命題変数は整形式です
  2. 若$あ、B\; は$すべて有効な数式である場合、$\left(\ae A\right)$、$(A\vee B)$、$(A\wedge B)$、$(A\to B)、(A\leftrightarrow B)$は整形式です。これらの式は、式の層
  3. (2)の方法を有限回適用して形成される記号列は整形式である
• 整形式の式は、命題式、または略して式とも呼ばれます。
• 注記：
  • 選言接続詞$\wedge$省略・未記入は不可
  • 重複しない 2 つの部分式には二項結合子が必要です ( $T$ ) リンク内の接続詞$pq\to r$は整形式ではなく、$p\wedge q\to r\; は$整形式の式です

整形式の数式における 0 と 1

• 適切な数式には 0 と 1 が表示されます。これらはp ∧ ʼ pp\wedge{\neg{p}}と見なされます。$p\wedge �\; p$ ,p ∨ � pp\vee{\neg{p}$\}$$p\vee ⁄$ ; 2 つの表現は交換して解釈できます$。$

子公式

• 设$A\; は$整形式です、$B$是$A$の一部 (部分文字列) を$B$是$A$の部分式

式の階層定義

• 式$A$が単一の命題変数の場合、$A$は0レベル式と呼ばれます

• BBにしましょう$B$はnnです$n$層式の場合、$あ=ãB$は$n+第\; 1$レベルの公式

• B、CB、Cとしましょう$B、C\; は$それぞれ$私、j$層の式、および$n=\mathrm{最大}(i,j)$の場合、$あ=B\ast C$は$n+1$層的($\ast \in T=\{\vee ,\wedge 、\to 、\leftrightarrow \}$ )

  • つまり、$あ=B\wedge C$ ,$あ=B\vee C$ ,$あ=B\to C$、$あ=B\leftrightarrow C$の層の数は 1 + max ⁡ ( i , j ) 1+\max{(i,j)}です$1+\mathrm{最大}(私、j)$

重ね括弧

• 例: $(￣p\_\vee q)\to r\; は$、括弧を追加する (レベル 1 以上の部分式に括弧を追加する) ことで処理でき、レベルの数を数えやすくなります: ( ($(((￣p)\vee q)\to r)$とすると、この式の最も深い括弧には 3 つのレベルがあり、各レベルは次のとおりであることがわかります。
  • レベル 0: $p、q、r$ , (通常、レイヤー 0 には興味がありません)
  • レベル 1: $ãp$、
  • 2 層目: $￣p\_\vee q$
  • 3层: $(￣p\_\vee q)\to r$
• From: $(￣(p\to \leftarrow q\left)\right)\wedge ((r\vee s)\leftrightarrow ``p\text{'}\text{'}\; )$の場合、次のように括弧を追加できます:$((￣(p\to (ãq\left)\right))\wedge ((r\vee s)\leftrightarrow \left(\ae p\right)\left)\right)$;4層になっていることがわかります。

命題式の代入と解釈

• p 1 , ⋯ , pn p_1,\cdots,p_nとする$p_{}、\cdots 、p_{}$は式$A$のすべての命題変数$A\; は$A ( p 1 , ⋯ , pn ) A(p_1,\cdots,p_n)と表されます。$あ（p_{}、\cdots 、p_{})$ )、それぞれこの$n\; 個$の命題変数は、ペア式AA真理値$A$の代入または解釈

• 書き方：$p_{}={ある}_{}、\cdots 、p_{}={ある}_{}$α 1 、⋯ 、α n \alpha_1,\cdots,\alpha_nと省略できます。${ある}_{}、\cdots 、{ある}_{}$

trueへの代入@falseへの代入

• AAのような値のセットを指定すると、$A$は 1、$あ=1$、この値のセットを$A$の本当の割り当て
  • 若$あ=0$の場合、この値のセットは$A$を代入する

数式の書き方の基準 @括弧の省略

• 便宜上、数式のレイヤーが単独で表示される場合は、括弧を省略できます。
• 式内の演算の順序に影響を与えない括弧も省略できます。たとえば、$(p\vee q)\vee (Дr)\; は$、 p ∨ q ∨ Should rp\vee{q}\vee\neg{r}と省略できます$p\vee q\vee ¸r\_$

真理値表

• 反映式$A$のすべての値とその結果のテーブル$A$の真理値表

割り当てメソッドの数

• $n\; 個$の命題変数 (合成)$2^n$異なる割り当て方法
• ウィル$n\; 個の$命題変数 (合成) で構成される式の集合は、F ( n ) F(n)と表されます。$F\left(n\right)$は、$F\left(n\right)$の式の真理値表は2 n 2^{n}です$2^n$行

真理値表を作成する

全体的なステップは、$2^n$個の異なる割り当てについて、それぞれの真の値を計算します。具体的な操作は次のとおりです。

1. 式内のすべての命題変数$p_{}、\cdots 、p_{}$、リスト$2^n$件の割り当て
   • 0 ⋯ 0 0\cdots0の値を割り当てます$0\cdots 0$、バイナリ加算に従って 1 を加算し、次の代入を生成します ($1\cdots 最大1$、正確には$2^n$件の割り当て
2. 式レベル分析: 式の各レベルを低レベルから高レベルまで順番に分解します。
3. 各割り当てに対応する各レベルの真理値を計算し、最後のレベルの真理値が式全体の真理値となります。

例: $(￣p\_\wedge q)\to ¸r\_$

$なぜなら、$	$￣p\_$	$¸r\_$	$￣p\_\wedge q$	$(￣p\_\wedge q)\to ¸r\_$
000	1	1	0	1
001	1	0	0	1
010	1	1	1	1
011	1	0	1	0
100	0	0	0	1
101	0	0	0	1
110	0	1	0	1
111	0	0	0	1

• 最初の列は代入、2 列目と 3 列目は第 1 レベルの部分式、3 列目は第 3 レベルの部分式、最後の列は式全体の真理値です。
  • 最初以外の列と最後の列は、計算精度を向上させるための補助列であり、真理値表には必要な列ではありません。
  • 最初の列はレベル 0 列とみなすこともでき、下位レベルの列は上位レベルの列の計算に役立ち、計算の繰り返しを減らすことができます。

式の分類

• 若$A$の値はすべての割り当てでtrue、その後$A$はトートロジーまたは永遠の真実と呼ばれます($A$の真理値表の最後の列は
• 若$A\; が$そのすべての割り当てで偽の、$A$は矛盾または永久的な偽の形式(AA)と呼ばれます。$A$の真理値表の最後の列は
• 若$A\; は$矛盾ではない、ならば$A\; は$式を満たします。特に、少なくとも 1 つの誤った割り当てがAAと呼ばれます。$A\; は$非トートロジー充足可能な式です