Refinamiento de "Introducción a las Matemáticas Discretas" - Capítulo 8 (Relaciones)

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introducción

El autor siempre ha sentido que las matemáticas discretas son una base de conocimiento extremadamente importante en el estudio de la informática. La idea de la discretización se refleja en todos los aspectos de la informática. Por ejemplo, el concepto de "píxel" nos resulta familiar en nuestra vida diaria. Dividir una imagen en píxeles diminutos es utilizar la idea de discretización. Para ayudar a todos a sentar una base sólida de pensamiento en matemáticas discretas, el autor ha abierto una nueva columna para refinar el libro "Guía de Matemáticas Discretas" para que sea más fácil de entender. Este artículo es la cuarta parte de esta columna y presenta principalmente el Capítulo 8.
Capítulo 1-3 Portal Portal
4-5 Portal Portal
Capítulo 6-7 Portal Portal

texto

En primer lugar, está claro que una relación es un conjunto especial y una función es una relación especial.

Capítulo 8 Relación

definición

Una relación es un subconjunto del producto cartesiano, es decir, un conjunto de pares ordinales.

"(a, b) satisface la relación R" se puede escribir como (a, b)∈R, R(a, b), a→b. Cuando se escribe en la última forma, piense en (a,b) como un mapeo en la relación.

Aquí damos un ejemplo del libro:

A↔B es P(A×B), que es el conjunto potencia de A×B. Aquí A y B son dos conjuntos respectivamente.

dominio de definición

Sabemos que una relación es un subconjunto del producto cartesiano.Si el producto cartesiano es A×B, entonces definimos que A es la fuente de la relación y B es el destino de la relación. El dominio de definición se refiere al conjunto de todos los elementos de A que aparecen en la relación, y el rango se refiere al conjunto de todos los elementos de B que aparecen en la relación. Pongamos un ejemplo:

preste atención al mapa de papas a continuación, que puede representar una relación de manera muy vívida. En la figura, podemos ver que el conjunto House_mate es el origen y el destino de esta relación, pero su dominio es {Carin, Matt} y su rango de valores es {Kelly, Matt}. El símbolo de dominio de la relación R es dom R y el símbolo de rango es ran R.

inversa de la relación

El inverso de una relación es invertir el origen y el destino de la relación. Por ejemplo, el inverso de la relación anterior es {(Matt→Carin), (Kelly→Matt)}. La inversa de la relación R se llama R ^~ o R ⁻¹ .

Operaciones sobre relaciones (énfasis)

1. El calificador de dominio ◅, que produce una nueva relación cuyo dominio es la intersección del dominio de la relación original y el conjunto a la izquierda del calificador de dominio. Ejemplo:

La relación original es {a→1, b→2, c→3}, luego {a}◅{a→1, b→2, c→3}={a→1}.

Tenga en cuenta que los calificadores de dominio son conjuntos izquierdo y derecho.

2. Calificador adjunto de dominio
   El calificador adjunto de dominio puede considerarse como el complemento del calificador de dominio, y el dominio de la relación que devuelve es la operación diferencia del dominio de la relación original menos el conjunto a la izquierda del calificador de dominio. El símbolo del calificador de dominio es una línea horizontal dibujada en el medio del calificador de dominio (perdónenme por no encontrar este símbolo).
3. Calificador de rango ▻: Similar al calificador de dominio.
4. Rango con calificador ⌲: Similar a dominio con calificador. La notación de un dominio con un calificador es su inversa.
5. Imagen de relación: Dada una relación R, su operador de imagen es R(|A|), donde A es un conjunto. Esta operación devuelve un subconjunto de un rango. Ejemplo:

R es {a→1, b→2, c→3}, entonces R(|{a, b}|)={1, 2}.

composición de relaciones

Dadas dos relaciones A y B, decimos que A○B es la relación compuesta de estas dos relaciones. Ilustramos esto con una parcela de patatas:

1. Aquí está el gráfico de papa para la relación A:
   
2. Aquí está el gráfico de papa para la relación B:
   
3. La operación de síntesis consiste en conectar B con la parte posterior de A para formar un mapa de patatas de este tipo:
   
4. Mirando este gráfico, a se asigna a 2 y 2 se asigna a β, por lo que a se puede asignar directamente a β, y lo mismo es cierto para otros elementos. De ahí la relación compuesta:
   
   esta es la composición de las relaciones. Nota: A partir del proceso de composición, podemos ver que la composición relacional debe requerir que la colección de origen de B y la colección de destino de A sean del mismo tipo; de lo contrario, el cálculo de la composición no está definido.

Relaciones semejantes y heterogéneas

Si los conjuntos de origen y destino de una relación son del mismo tipo, se denomina relación homogénea; de lo contrario, se denomina relación heterogénea. Una relación homogénea puede realizar operaciones compuestas consigo misma, pero una relación heterogénea no.

La naturaleza de la relación (crítica y difícil)

La naturaleza de la relación es un punto difícil de recordar, si no lo entiendes, puedes leerlo de un lado a otro.

1. Reflexividad: En el mismo tipo de relación R, para el conjunto fuente (o conjunto objetivo) X de R, cada elemento x en X satisface (x, x)∈R, entonces R es reflexivo de
2. Transitividad: elimine a voluntad dos pares (x, y) e (y, z) en R. Si (x, z) también es un par en R, entonces R es transitivo. Si R es transitivo, entonces R○R es un subconjunto de R.
3. Simetría: elimine aleatoriamente un par de orden (x, y) en R, si (y, x) también es un par de orden en R, entonces R es simétrico
4. Asimetría: elimine un par de orden (x, y) en R a voluntad y requiera que (y, x) no pueda ser un par de orden en R, entonces R es simétrico
5. Antisimetría: La antisimetría y la asimetría son en realidad dos propiedades completamente diferentes. Saque a voluntad un par ordinal (x, y) en R. Si (y, x) existe, entonces y=x. R que satisface esta propiedad es antisimétrico. Por lo tanto, si R satisface la asimetría, entonces no debe ser antisimétrico, ya que no se pueden encontrar dos pares de orden que sean (x, y), (y, x). Puede pensar que existe una conexión entre la antisimetría y la reflexividad, pero después del pensamiento del autor, en realidad no existe una relación lógica entre estas dos propiedades. Los lectores interesados ​​pueden pensarlo por sí mismos.
6. Completitud: en el mismo tipo de relación R, si se seleccionan al azar dos elementos cualquiera del conjunto objetivo X de R, y ambos satisfacen la relación de mapeo de R, entonces se dice que R es completo.

Orden y Equivalencia (Introducción)

Solo las siguientes propiedades se definen en el mismo tipo de relación. Sea esta relación R, y la fuente (objetivo) de R es X.

1. Si R satisface las tres propiedades de reflexividad, transitividad y antisimetría, se dice que R está parcialmente ordenado. En este punto, los elementos en X forman algún orden, con algunos elementos más altos que otros.
2. Si R satisface las tres propiedades de antisimetría, transitividad y completitud, entonces se dice que R está totalmente ordenado. En este momento, todos los elementos en X tienen algún orden, por lo que se llama orden total.
3. Si R satisface las tres propiedades de simetría, transitividad y reflexividad, entonces se dice que R es equivalente. Tome (x, y) ∈ R en este momento, entonces x es "equivalente a" y.

Cierre

Una relación homogénea S, agregando algunos pares de orden para hacer que S satisfaga las relaciones reflexiva, simétrica y transitiva, las relaciones agregadas se denominan cierre reflexivo, cierre simétrico y cierre transitivo de S, respectivamente . Una clausura que es tanto reflexiva como transitiva se denomina clausura reflexiva transitiva .
El método para construir un cierre es realizar una operación de unión y sumar los pares ordinales que faltan en forma de conjunto.
Nota: Para clausuras transitivas, la definición de clausuras transitivas no es lo mismo que transitividad. La transitividad solo debe pasarse una vez, pero las clausuras transitivas deben pasarse n veces, es decir, no solo necesita agregar S○S (puede escribirse como S ² ), también se suma S○S○S(S ³ ), hasta que la relación sintetizada después de n tiempos de síntesis sea un conjunto vacío.

relación múltiple

El tipo de relación multivariante es A ↔ (B × C) o (A × B) ↔ C. De manera más general, solo el símbolo más externo es ↔ y el interior es ×. Debido a que los elementos en A×B son solo un par de secuencias, y los elementos en A↔B son múltiples pares de secuencias, por ejemplo:

Un elemento de A↔(B↔C) es:
(a,((b1,c1),(b1,c2))), lo que obviamente no es razonable.
Y los elementos en A↔(B×C) son:
(a,(b1,c1)), lo cual es razonable.

Soy Shuang_Ai, un recién llegado que trabaja duro en el camino de los algoritmos, ¡gracias por leer! Si crees que es bueno, puedes prestarle atención, ¡y traeré explicaciones de algoritmos cada vez más completas en el futuro!