用数学规划的方式求解优化问题

本文介绍如何用数学语言对实际中的优化问题进行建模. 通过建立数学模型, 我们利用现成的求解器可以便捷地计算出最优解(或可行解).

运输问题

考虑三个粮食储量分别是100, 200, 300的仓库 (单位:吨, 下文省略). 我们需要把粮食运送给4个客户, 其需求分别是: 120, 60, 270, 150.

仓库到客户的单位运输成本用矩阵 $C$ 描述:
$\begin{aligned} \begin{bmatrix} 350 & 200 & 300 & 250 \\ 220 & 330 & 300 & 270 \\ 215 & 230 & 290 & 240 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}$
其中行代表仓库, 列代表客户. 矩阵中的每一个值代表对应的仓库到客户的单位运输成本. 我们的目标最小化总的运输成本.

下面我们用数学语言描述该问题.

输入

仓库的供给量 $s_i$ , $i=1, 2, ... ,m$ , 其中 $m$ 是仓库总数
客户的需求量 $d_j$ , $j= 1, 2, ..., n$ , 其中 $n$ 是客户总数
仓库 $i$ 到客户 $j$ 的单位运输成本是 $c_{i, j}$

输出

需要计算仓库 $i$ 到客户 $j$ 的运输量 $x_{i,j}$

下面我们写出问题的目标和约束.

目标是最小化总的运输成本, 即
$\min \sum_{i,j}c_{ij}x_{ij}.$

我们需要满足的约束条件有两个:

每个仓库的出库量不能超过其供给量: $\sum_{j} x_{ij} \leq a_i$ , $\forall i$
每个客户的需求应该被满足: $\sum_{i} x_{ij} = d_j$ , $\forall j$

综上所述, 我们可以把运输问题用线性规划(Linear Programming)来表示.

$\begin{aligned} \min~& \sum_{ij}c_{ij} x_{ij} \\ \text{s.t. } & \sum_{j} x_{ij} \leq a_i, \forall i \\ & \sum_{i} x_{ij} = d_j, \forall j \\ & x_{ij} \geq 0, \forall i, j. \end{aligned}$

标准实践

为了更加直观地写出数学模型, 我们可以总结一份标准的指南. 它包含四个基本步骤:

指标(Indices)
指标的作用是主要为了简化记号. 以上述运输问题为例, 我们的指标有 $i$ 和 $j$ , 其中 $i$ 代表仓库, $j$ 代表客户.
参数(Parameters)
参数是问题的输入. 以上述运输问题为例, 我们的参数是: 供给量( $s_i$ ), 需求量( $d_j)$ , 单位运输成本 $c_{i,j}$ .
决策变量(Decision Variables)
决策变量是算法的输出.
优化目标(Objective)
一般是最小化或最大化一个目标函数. 在某些情况下, 问题只需要找到一个可行解, 因此也可以不指定优化目标.
约束(Constraints)
用等式或不等式描述解的限制.

求解规划

常用的商用求解器有Gruobi和CPLEX(可申请教育和学术的lisense). 商用求解器功能强大, 能求解多种类型的规划问题, 例如整数规划, 混合整数规划, 二次规划等. 免费的求解器有Google的ORtools, 它把一些开源的求解器做了集成, 求解速度虽然比不上商用求解器, 实际中也能满足很多业务需求.

求解方式有两种:

第一种是直接用商用求解器提供的IDE. 按照求解器的建模语法把模型写出来, 然后求解. 建模语法的好处是非常贴近公式化的描述, 所见即所得.

第二种是调用求解器提供的API, 初始化参数, 约束, 目标, 然后求解.

本文我们使用开源工具ORtools求解(基本的教程请自行google,需要翻墙)

Python实现

模型

# model.py

from ortools.linear_solver import pywraplp
import numpy as np


class TransportModel(object):

    def __init__(self, a, d, C):
        """
        :param a: 供给量(m维向量), m代表仓库数量
        :param d: 需求量(n维向量), n代表客户数量
        :param C: 单位运输成本(m*n维矩阵), C[i][j]代表仓库i到客户j的单位运输成本
        """
        self._solver = pywraplp.Solver('TransportModel',
                                       pywraplp.Solver.GLOP_LINEAR_PROGRAMMING)
        self._a = a
        self._d = d
        self._C = C
        self._m = len(self._a)  # 仓库数量
        self._n = len(self._d)  # 客户数量
        self._x = None  # 决策变量
        self._solution_x = None  # 计算结果
        self._obj_val = None  # 目标函数值

    def _init_decision_variables(self):
        self._x = [
            # 0 <= x[i][j] <= infinity
            [self._solver.NumVar(0, self._solver.infinity(), "x[%d][%d]" % (i, j))
             for j in range(self._n)] for i in range(self._m)
        ]

    def _init_constraints(self):
        # 每个仓库的出库量不能超过其供给量
        # sum(x[i][j]) <= a[i], over j
        for i in range(self._m):
            ct = self._solver.Constraint(0, self._a[i])
            for j in range(self._n):
                ct.SetCoefficient(self._x[i][j], 1)
        # 每个客户的需求应该被满足
        # sum(x[i][j]) == b[j], over i
        for j in range(self._n):
            ct = self._solver.Constraint(self._d[j], self._d[j])
            for i in range(self._m):
                ct.SetCoefficient(self._x[i][j], 1)

    def _init_objective(self):
        obj = self._solver.Objective()
        for i in range(self._m):
            for j in range(self._n):
                obj.SetCoefficient(self._x[i][j], self._C[i][j])
        obj.SetMinimization()

    def solve(self):
        self._init_decision_variables()
        self._init_constraints()
        self._init_objective()
        self._solver.Solve()
        # 求解器返回的解
        self._solution_x = [
            [self._x[i][j].solution_value() for j in range(self._n)]
            for i in range(self._m)
        ]
        # sum(C[i][i] * x[i][j]) over i,j
        self._obj_val = np.sum(np.array(self._C) * np.array(self._solution_x))

    def print_result(self):
        print("最优值 = ", self._obj_val)
        print("最优解 x = ")
        print(np.array(self._solution_x))

主函数

# main.py

from data import a, d, C  # 运输问题实例
from model import TransportModel


if __name__ == '__main__':
    tm = TransportModel(a, d, C)
    tm.solve()
    tm.print_result()

完整代码: 运输问题

数独(Sudoku)

把数字1-9填入下图的空格子中, 且满足如下三个条件:

每个区块 (图中灰色方框包含的3$\times$3小格子)包含数字1-9
每行包含数字1-9
每列包含数字1-9

我们通过数学规划的方式求解该问题.

指标

$n$ – 填入的数字, $n \in \{1, 2, ..., 9 \}$
$i$ – 第 $i$ 行区块, 区块一共三行, 因此 $i \in \{1, 2, 3\}$
$j$ – 第 $j$ 行区块, 区块一共三列, 因此 $j \in \{1, 2, 3\}$
$p$ – 区块中元素的行, 每个区块包含三行, 因此$p \in {1,2,3 } $
$q$ – 区块中元素的列, 每个区块包含三列 $q \in \{ 1, 2, 3\}$

参数

$a_{i,j,p,q,n} \in \{ 0, 1\}$ – 考虑第 $i$ 行 $j$ 列的区块, 它的 $i$ 行 $j$ 列是否数字 $n$

决策变量

$x_{i,j,p,q,n} \in \{ 0, 1\}$ – 考虑第 $i$ 行 $j$ 列的区块, 它的 $i$ 行 $j$ 列是填入否数字 $n$

约束

已经存在的值不能修改.
$x_{i,j,p,q, n} \geq a_{i,j,p, q, n}$ , $\forall i,j,p,q, n$
一个单元格同时只允许填入一个数字.
$\sum_n x_{i,j,p,q,n} = 1, \forall i,j,p,q$
每个区块包含数字1-9.
$\sum_{p, q} x_{i,j, p, q, n} = 1, \forall i, j, n$
每行包含数字1-9.
$\sum_{j, q} x_{i,j,p,q,n} = 1, \forall i,p, n$
每列包含数字1-9.
$\sum_{i, p} x_{i,j,p,q,n} = 1, \forall j,q, n$

综上所述, 我们的规划可以写成下面的整数规划(Integer Programming). 注意: 无优化目标.

$\begin{aligned} \min~& 0 \\ \text{s.t. } & x_{i,j,p,q,n} \geq a_{i,j,p,q,n}, \forall i, j,p,q, n \\ & \sum_n x_{i,j,p,q,n} = 1, \forall i,j,p,q \\ & \sum_{p, q} x_{i,j, p, q, n} = 1, \forall i, j, n \\ & \sum_{j, q} x_{i,j,p,q,n} = 1, \forall i,p, n \\ & \sum_{i, p} x_{i,j,p,q,n} = 1, \forall j,q, n \\ & x_{i,j,p,q} \in \{ 0,1\} . \end{aligned}$

Python实现

模型

# model.py

from ortools.linear_solver import pywraplp
import numpy as np


class SudokuModel(object):

    def __init__(self, a):
        """
        :param a: Sudoku实例 
        """
        self._solver = pywraplp.Solver('SudokuModel',
                                       pywraplp.Solver.BOP_INTEGER_PROGRAMMING)
        self._a = a
        self._x = None  # 决策变量
        self._solution_x = None  # 计算结果

    def __init_decision_variables(self):
        self._x = np.empty((3, 3, 3, 3, 9)).tolist()
        for i in range(3):
            for j in range(3):
                for p in range(3):
                    for q in range(3):
                        for n in range(9):
                            # 已知数字不允许修改
                            # x[i][j][p][q][n] >= a[i][j][p][q][n]
                            self._x[i][j][p][q][n] \
                                = self._solver.IntVar(self._a[i][j][p][q][n], 1,
                                                      'x[%d][%d][%d][%d][%d]' % (i, j, p, q, n))

    def __init_constraints(self):
        # 一个单元格同时只允许填入一个数字
        # sum(x[i][j][p][q][n]) = 1, over n
        for i in range(3):
            for j in range(3):
                for p in range(3):
                    for q in range(3):
                        ct = self._solver.Constraint(1, 1)
                        for n in range(9):
                            ct.SetCoefficient(self._x[i][j][p][q][n], 1)
        # 每个区块包含数字1-9
        # sum(x[i][j][p][q][n]) = 1, over p, q
        for i in range(3):
            for j in range(3):
                for n in range(9):
                    ct = self._solver.Constraint(1, 1)
                    for p in range(3):
                        for q in range(3):
                            ct.SetCoefficient(self._x[i][j][p][q][n], 1)
        # 每行包含数字1-9
        # sum(x[i][j][p][q][n]) = 1, over j, q
        for i in range(3):
            for p in range(3):
                for n in range(9):
                    ct = self._solver.Constraint(1, 1)
                    for j in range(3):
                        for q in range(3):
                            ct.SetCoefficient(self._x[i][j][p][q][n], 1)
        # 每列包含数字1-9
        # sum(x[i][j][p][q][n]) = 1, over i, p
        for j in range(3):
            for q in range(3):
                for n in range(9):
                    ct = self._solver.Constraint(1, 1)
                    for i in range(3):
                        for p in range(3):
                            ct.SetCoefficient(self._x[i][j][p][q][n], 1)

    def solve(self):
        self.__init_decision_variables()
        self.__init_constraints()
        self._solver.Solve()
        self._get_solution_x()

    def _get_solution_x(self):
        self._solution_x = np.empty((3, 3, 3, 3))
        for i in range(3):
            for j in range(3):
                for p in range(3):
                    for q in range(3):
                        for n in range(9):
                            if self._x[i][j][p][q][n].solution_value() == 1:
                                self._solution_x[i][j][p][q] = n + 1

    def print_result(self):
        res = np.empty((9, 9))
        for i in range(3):
            for p in range(3):
                for j in range(3):
                    for q in range(3):
                        res[i*3+p][j*3+q] = self._solution_x[i][j][p][q]
        print(res)

主函数

# main.py

from model import SudokuModel
from data import a


if __name__ == '__main__':
    sm = SudokuModel(a)
    sm.solve()
    sm.print_result()

完整代码: Sudoku

胡拉哥

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