【51nod1683】最短路

Description

原题链接
lyk有一个01矩阵，它一开始在(1,1)处，它想走到(n,m)，不幸的是它被剥夺了向左走的能力，也就是说，若lyk处于(i,j)，那么每一次lyk只能走向(i+1,j),(i,j+1),(i-1,j)三个地方，它所耗费的时间为它走过的路径中1的数量。它想知道从(1,1)走到(n,m)的最短路是多少。

但是这个问题十分的简单，lyk并不屑知道。

现在问题来了，lyk不想告诉你01矩阵是啥，它想知道的是从(1,1)走到(n,m)最短路为k的概率。

因此你需要输出的是当n+m行，第i行表示最短路为i-1的概率。

由于要输出小数点十分麻烦，因此你只需要输出概率2^(nm)后对p取模后的答案就行了。

Solution

其实就是求最短路为\(k(0\leq k\leq n+m)\)的方案数。先考虑朴素做法，需要每列同时考虑，但\((n+m)^n\)状态数过于庞大。
因为不能往左走，所以每一列上下相邻两个的最短路至多差1。
注意到\(n\leq 6\)，可以设\(f_{i,j,s}\)表示第\(i\)列，第一行的最短路为\(j\)，\(s\)是个三进制状态表示该列从第二行开始，每个格子上面格子的差。
转移时要算下一列的最短路，可以预处理。

时间复杂度为\(O(2^n3^{n-1}nm)\)

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=120;
ll f[N][N][N<<3];
ll g[N<<3][1<<6][2];
int z[7],d[7],r[7],w[7];
int mo;
ll an[N];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&mo);
    z[0]=1;
    fo(i,1,n) z[i]=z[i-1]*3;
    fo(s1,0,z[n-1]-1){
        d[1]=0;
        fo(i,1,n-1){
            int t=s1/z[i-1]%3-1;
            d[i+1]=d[i]+t;
        }
        fo(s2,0,(1<<n)-1){
            fo(i,1,n) w[i]=((s2&(1<<i-1))>0),r[i]=d[i]+w[i];
            fo(i,2,n) r[i]=min(r[i],r[i-1]+w[i]);
            fd(i,n-1,1) r[i]=min(r[i],r[i+1]+w[i]);
            g[s1][s2][0]=r[1];
            fo(i,2,n) g[s1][s2][1]+=(r[i]-r[i-1]+1)*z[i-2];
        }
    }
    memset(d,0,sizeof(d));
    fo(s,0,(1<<n)-1){
        fo(i,1,n)
        d[i]=d[i-1]+((s&(1<<i-1))>0);
        int t=0;
        fo(i,2,n) t+=(d[i]-d[i-1]+1)*z[i-2];
        f[1][d[1]][t]++;
    }
    fo(i,1,m-1){
        fo(j,0,i)
        fo(s,0,z[n-1]-1){
            if(!f[i][j][s]) continue;
            fo(x,0,(1<<n)-1){
                int t1=g[s][x][0]+j,t2=g[s][x][1];
                f[i+1][t1][t2]+=f[i][j][s];
                f[i+1][t1][t2]>=mo?f[i+1][t1][t2]-=mo:0;
            }
        }
    }
    fo(j,0,m)
    fo(s,0,z[n-1]-1){
        if(!f[m][j][s]) continue;
        d[1]=j;
        fo(i,1,n-1){
            int t=s/z[i-1]%3-1;
            d[i+1]=d[i]+t;
        }
        if(d[n]<0) continue;
        an[d[n]]+=f[m][j][s];
        an[d[n]]>=mo?an[d[n]]-=mo:0;
    }
    fo(i,0,n+m-1) printf("%lld\n",an[i]);
}