定性分析
这个方程的整数解怎么得到？参考视频
方程:
函数f1、f2和f3：
f1和f2的导数，也就是曲线f的斜率， 理论上f2的斜率是比f1越来越陡峭，f1和f2只有有限的几个交点。
方程的整数解是曲线f1和f2的交点。 由于f1画图不方便, 可以从f2和f3的形态推知f1和f2只有有限的交点。因为f3只是f1的平移。 f2和f3的图像示意如下， 明显只有有限个交点。
大力出奇迹
思路
不管三七二十一，x和y都从0开始，按照自然数递增的方式去试探。
两层循环，外层是x， 内层是y。然后尝试计算f1和f2， 如果f1 == f2 就打印结果，终止循环。
不过这里可做一点点局部优化，就是x^2+615=2^y >=615 可以推出y>9。外层循环x 从0开始，内存循环可以从10开始。
代码
equation.cpp
#include <iostream>
#include <cmath> using namespace std; int main(int argc, char* argv[]) { if (argc < 3) return -1; long n = atol(argv[1]); long m = atol(argv[2]); bool flag = false; //找到解的标志，找到为true未找到为false for (long x = 0; x < n && !flag; x++) //x没到循环上限值且未找到解的就继续 { for (long y = 10 ; y < m; y++) { long long f1 = 615 + pow(x, 2); long long f2 = pow(2, y); if (f1 == f2) //找到，打印解 { flag = true; cout << "(x, y)" << ":" << "(" << x << "," << y << ")" << endl; cout << "(x, y)" << ":" << "(" << -x << "," << y << ")" << endl;//共轭解 break; } } } return 0; } 复制代码代码解读
n 和 m是通过命令输入，来控制x和y的上限的。
flag 为找到解的标志。
外层循环的终止条件是表示式 x < n && !flag 的值为false。
这个解法非常自然，基本属于大力出奇迹的范围。
执行结果
局部优化
思路
- 减少外层循环次数。
- 参考视频，推断x的形式为6k+1或6k-1 ，k为整数
代码
#include <iostream>
#include <cmath> using namespace std; int main(int argc, char* argv[]) { if (argc < 3) return -1; long n = atol(argv[1]); long m = atol(argv[2]); bool flag = false; for (long k = 1; k < n && !flag; k++) { for (long y = 10 ; y < m; y++) { long long f1 = 615 + pow(6*k - 1, 2); long long f2 = pow(2, y); if (f1 == f2) { flag = true; cout << "(x, y)" << ":" << "(" << 6*k - 1 << "," << y << ")" << endl; cout << "(x, y)" << ":" << "(" << -(6*k -1) << "," << y << ")" << endl; break; } f2 = 615 + pow(6*k + 1, 2); if (f1 == f2) { flag = false; cout << "(x, y)" << ":" << "(" << 6*k + 1 << "," << y << ")" << endl; cout << "(x, y)" << ":" << "(" << -(6*k + 1) << "," << y << ")" << endl; break; } } } return 0; } 复制代码代码解读
n 和 m是通过命令输入，来控制x和y的上限的。
flag 为找到解的标志。
外层循环的终止条件是表示式 k < n && !flag 的值为false。
这个解法跟大力出奇迹思路一样，只是先做了一点简单的推断，判定出x的形式，相比方法一，可以少67%的循环次数。
执行结果
全局优化
思路
- 去掉一层循环。 我们可以先计算2^y 的结果，根据方程去推出算出x的值: x = sqrt(2^y - 615)。 x取整后，在根据取整的结果去计算 [x]^2 + 615是否跟2^y值相等。这里[x]表示对x取整。
- 去掉pow调用，只改用一次sqrt。计算2^y的时候， 可以根据外层循环的次数来累乘2得出。
- y肯定大于9, 不必做无谓的计算，所以从10开始。
代码
#include <iostream>
#include <cmath> using namespace std; int main(int argc, char* argv[]) { if (argc < 2) return -1; long n = atol(argv[1]); long long p = 512; //2^9 == 512 for (long y = 10; y < n; y++) { p *= 2; long x = sqrt(p - 615); if (x *x + 615 == p) //判断x确实是整数且满足方程 { cout << "(x, y) = " << "(" << x << "," << y << ")" << endl; cout << "(x, y) = " << "(" << -x << "," << y << ")" << endl; } break； } return 0; } ### 代码解读 p 存储2^y 值，倒推x值， 取整后计算x^2 + 615，是否跟2^y相等。 本方法也不需要flag这种标志了，因为只有一层循环，直接break即可终止。 ### 执行结果 复制代码代码解读
减少一层循环，在循环内只有一次sqrt调用。理论上，应该比方法一和方法二都要高效。
执行结果
总结
三个方法中，显然方法三是比较优的方法。
本案例提升效率的方法：
-
局部优化，譬如从数学角度先做优化
-
全局优化，不但要从数学角度，而且逆向思维，从y出发导出x，再从x去验算y。
-
避免都充循环
-
在循环中尽量少用函数调用，可以多采用简答的加法和乘法。
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