Luogu P5853 [USACO19DEC]Tree Depth P

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利用期望的线性性，我们将一个点在Cartesian树上的深度的期望转化为期望有多少个点是这个点的祖先。
不难发现，对于排列\(\{p\}\)，\(i\)在Cartesian树上是\(j\)的祖先的充要条件是\(p_i=\min\limits_{k=\min(i,j)}^{\max(i,j)}p_k\)。
设\(f_{j-i,k}\)表示有多少个逆序对数为\(k\)的排列满足\(i\)在Descartes树上是\(j\)的祖先，那么其生成函数为：
\[ F_t(x)= \begin{cases} \prod\limits_{i=0}^{n-1}[i\ne t]\sum\limits_{j=0}^ix^j&t>0\\ x^{|t|}\prod\limits_{i=0}^{n-1}[i\ne|t|]\sum\limits_{j=0}^ix^j&t<0 \end{cases} \]
那么先计算出\(\prod\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=0}^ix^j=\prod\limits_{i=1}^n\frac{1-x^i}{1-x}\)，通过暴力乘除\(\frac{1-x^t}{1-x}\)得到\(F_t(x)\)即可，时间复杂度为\(O(n^2+nk)=O(n^3)\)。

#include<cstdio>
const int N=50007;
int m,P,f[N],ans[N];
int read(){int x;scanf("%d",&x);return x;}
void inc(int&a,int b){a+=b-P,a+=a>>31&P;}
void dec(int&a,int b){a-=b,a+=a>>31&P;}
void mul(int k)
{
    for(int i=m;i>=k;--i) dec(f[i],f[i-k]);
    for(int i=1;i<=m;++i) inc(f[i],f[i-1]);
}
void div(int k)
{
    for(int i=m;i;--i) dec(f[i],f[i-1]);
    for(int i=k;i<=m;++i) inc(f[i],f[i-k]);
}
int main()
{
    int n=read(),k=read();P=read(),m=n*(n+1)/2,f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i) mul(i);
    for(int i=1;i<=n;++i) ans[i]=f[k];
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
    div(i);
    for(int j=1;j+i-1<=n;++j) inc(ans[j],k-i+1>=0? f[k-i+1]:0),inc(ans[j+i-1],f[k]);
    mul(i);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",ans[i]);
}