第3章通用的数据建模

3.1 本章建模

信息形式：高度迥异且模糊

可用统计形式的数据：雷达提供的数据

不可用统计形式的数据：

合成孔径雷达图像
自然语言表示
从信号中提取的特征
从知识库中抽取的规则

两种数据：状态估计和观测

四种类型的观测：

本源明确的精确观测（UGU）
本源明确的模糊观测（UGA）
本源模糊的模糊观测（AGA）
本源模糊的精确观测（AGU)

3.2 不确定性建模种的问题

多确定性的情况：

多目标引入的不确定性
虚警引入的不确定性
不可信而引入的不确定性
诱骗引入的不确定性
逃避动坐引入的不确定性
位置相关性引入的不确定性

不确定性：

数据本身的不确定性
生成过程种由随机性和知识局限性大致的各类不确定习性

由知识局限性引入的不确定性：

不精确性
模糊性
不确定性
偶然性（于规则相伴）

3.3 数据不确定性建模中的问题

观测表示：

普遍做法：欧氏空间 $R^m$ 中的矢量 $z$ 表示观测
实际： $z$ 是一种数学抽象，表示显示世界中一些称作数据的实体。 $z$ 只不过是实际数据 $D$ 的模型而已，即 $z_D$ ，似然函数的真正形式：

$f_{k+1}(D|x)=f_{k+1}(z_D|x)$

观测：由信源（传感器、专家）发表的有关其观测内容的一种观点

综合数据建模的四个步骤：

创建可以表示自然界中单个观测的数学抽象
建模上述抽象过程中任何固有的模糊性
创建可以表示数据生成过程的随机变量
建模因对实际数据产生机理缺乏足够知识而引入的任何模糊性

3.4 例子

3.4.1 含有少量不精确性的随机观测

数字电压表：将电压离散为一系列区间并返回某个区间作为度数，由于噪声的存在，返回观测具有一定的随机性。即不确定性包含了不精确性和随机性。

非线性加性观测模型：
$Z=\eta_{k+1}(x)+W_{k+1}$
其中： $W_{k+1}$ 为零均值的随机噪声矢量，其概率密度函数为 $f_{W_{k+1}}(z)$

似然函数
$f_{W_{k+1}}(z-\eta_{k+1}(x))$
令 $z$ 表示所得观测，从中起提出状态：
$z-W_{k+1}=\eta_{k+1}(x)$
令 $E_z$ 表示一 $z$ 为中心半径固定的一个极小封闭超球，其体积 $|E_z|=\varepsilon$ 。

精确的随机观测：
$Z=\eta_{k+1}(x)+W_{k+1}$
不精确的随机观测：
$E_Z = E_{\eta_{k+1}(x)+W_{k+1}}$
任何采集的已知观测 $z$ 仅限于某种精确范围，即 $z\in E_Z$

定义随机闭子集：
$\Theta_Z \triangleq E_{Z-W_{k+1}}$
其表示了于 $z$ 有关的不确定习性（包含随机性和不确定性）。
$\begin{aligned} f_{k+1}(\Theta_z|x) &\triangleq Pr(z\in E_X|x) = Pr(\eta_{k+1}(x)\in \Theta_Z|x) \\ &= Pr(W_{k+1}\in E_{z-\eta_{k+1}(x)})\\ &= \int_{E_{Z-\eta_{k+1}(x)}}f_{W_{k+1}(\omega)}d\omega \\ & \approx f_{W_{k+1}(z-\eta_{k+1}(x))}\cdot\varepsilon\\ &= f_{k+1}(z|x)\cdot \varepsilon \end{aligned}$
常规似然函数 $f_{k+1}(z|x)$ 看作不同类型观测模型下非常规似然函数 $f_{k+1}(\Theta_Z|x)$ 的极限情况，其据偶相同的后验概率密度分布。

广义似然函数：
$f_{k+1}(\Theta|x) \triangleq Pr(\eta_{k+1}(x)\in \Theta)$
广义似然函数具有高度的非高斯和非线性特性。

3.4.2 含有少量随机的不精确观测

入宫观测故精确但非随机，其包含于中心为 $z$ 的某区域 $B_z$ 内
$f_{k+1}(B_z|x)=Pr(\eta_{k+1}(x)\in B_z)=1_{B_z}(\eta_{k+1}(x))$

第4章基于随机集的不确定表示

4.1 简介

随机集理论与专家系统理论的联系
介绍集中专家系统方法的随机集表示

4.2 论域、事件与事件逻辑

论域（辨识框架）：令 $U$ 为一离散集或连续的无限集

$U$ 中的元素赋予可区分彼此的多种特征
- 特征是明晰的
- 任意特征：由 $U$ 中具有该特征的所有元素组成的子集唯一确定
- 特征与 $U$ 的子集（事件）一一对应
- 可使用普通集合论中的交、并、补操作来组合不同特征
所有事件（ $U$ 的子集）构成布尔代数
- 交换律
- 结合律
- 分配律
- 德.摩根定律

4.3 模糊集理论

论域 $U$ 上的一个模糊隶属度函数（模糊事件）：在 $[0,1]$ 区间上取值的函数 $f(u)$ ， $f(u)$ 的值表示元素 $u$ 属于模糊集 $f$ 的隶属度。

对于某些 $u\in U,f(u)=1$ ，则 $f$ 是正常的
$U$ 的常规（清晰）子集 $S$ ：由示性函数 $1_S(u)$ 表示

4.3.1 模糊逻辑

模糊逻辑：定义在模糊隶属函数上的三个操作组成

合取 $f_1 \land f_2$
析取 $f_1 \lor f_2$
取余 $f^c$

满足定律：

交换律
- $f_1 \land f_2 = f_2 \land f_1$
- $f_1 \lor f_2 = f_2 \lor f_1$
结合律
- $(f_1 \land f_2)\land f_3 = f_1 \land (f_2 \land f_3)$
- $(f_1 \lor f_2) \lor f_3 = f_1 \lor ( f_2 \lor f_3)$
德.摩根定律
- $(f_1 \land f_2 )^c = f_1^c \lor f_2^c$
- $(f_1 \lor f_2)^c = f_1^c \land f_2^c$

模糊逻辑类型

扎德逻辑（唯一满足分配律的模糊逻辑）
- $(f_1 \land f_2)(u) \triangleq \min \{f_1(u),f_2(u)\}$
- $(f_1 \lor f_2)(u) \triangleq \max \{f_1(u),f_2(u)\}$
乘和逻辑
幂零逻辑

4.3.2 模糊事件的随机集表示

定义令 $\Sigma$ 表示论域 $U$ 的随机子集，Goodman的点覆盖函数 $\mu_{\Sigma}$ 定义为：
$\mu_{\Sigma}(u) \triangleq Pr(u\in \Sigma)$

论域 $U$ 上的一个模糊隶属函数：等于 $\Sigma$ 的所有包含 $u$ 的实例的概率之和。

定义令 $f(u)$ 为一模糊隶属函数， $A$ 为 $[0,1]$ 区间上均匀分布的随机数，则 $f$ 的同步随机集如下：
$\Sigma_A(f) \triangleq \{u|A\le f(u)\}$
其中， $\forall a \in [0,1]$ ，子集$\Sigma_a(f) \subseteq U $为$ f $的水平集，其中函数$ f $被$ a$定义的超平面剪切。

由于 $A$ 服从均匀分布 $[0,1]$ ，因而
$\begin{aligned} \mu_{\Sigma_A(f)}(u)=Pr(u\in\Sigma_A(f))&=Pr(A\le f(u)) \\ &=\int_0^1 Pr(A=a,a\le f(u))\ da \\ &=\int_0^1 Pr(a\le f(u)|A=a) \cdot Pr(A=a)\ da \\ &=\int_0^1 Pr(a\le f(u)|A=a)\cdot 1\ da \\ &=f(u) \end{aligned}$

随机集 $\Sigma_A(f)$ ：如实封装了**模糊隶属函数 $f$ 中包含的信息，通过随机变量 $A$ **附加了随机因素。
随机集 $\Sigma_A(f)$ ：实例依集合包含关系线性有序。
随机集 $\Sigma_A(f)$ ：表示的是一种确定性的观测，假设 $\phi$ 是一个随机的模糊隶属度函数，其随机集模型为

$\Sigma_A(\phi)$
$\forall A = a,\phi = f$ ， $\Sigma_a(f)$ 为 $\Sigma_A(\phi)$ 的一个可能的实例。

随机集的每个实例可视作模糊概念的一种解释
由随机数 $A$ 在各种可能的解释中进行选择

4.3.3 有限水平模糊集

$f(u)$ 的取值限定在有限个数值 $0\le l_1 \le \cdots < l_e \le 1$ 上时，得到一种有用的特例。

下图中随机集 $\Sigma_A(f)=\{u|A\le f(u)\}$ 只存在有限个实例。令
$S_i \triangleq \{u|l_i \le f(u) \}, \quad i=1,\cdots,e$

对于 $0\le a \le l_1$ ，有 $\Sigma_a(f)=S_1$
对于 $l_1 <a \le l_2$ ，有 $\Sigma_a(f)=S_2$
对于 $l_{e-1} < a \le 1_e$ ，有 $\Sigma_a(f)=S_e$
对于 $l_e < a \le 1$ ，有 $\Sigma_a(f)=\emptyset$

随机集 $\sigma_A(f)$ 仅存在有限个实例（离散的）
实例依集合包含关系线性有序，即 $S_1 \supset \cdots \subset S_e$ （协调的）

由离散协调随机子集构造有限水平模糊隶属函数

令 $\Sigma$ 为 $U$ 中的一离散协调随机子集，对 $i=1,\cdots,e+1，Pr(\Sigma=T_i)=p_i$ ，而且 $T_1 \supset \cdots \supset T_e \supset T_{e+1}=\emptyset$ ，可构造一个与之唯一对应的有限水平模糊隶属函数，则

$\mu_{\Sigma}(u)=Pr(u\in\Sigma)=\sum_{i=1}^{e+1} Pr(\Sigma=T_i,u\in T_i)=\sum_{i=1}^{e+1} p_i \cdot 1_{T_i}(u)$
对于 $i=1,\cdots,e+1$ ，定义 $w_i=p_1+\cdots + p_i$ ，则
$u\in T_i - T_{i+1} \Leftrightarrow u_{\Sigma}(u)=w_i$

4.3.4 联项模糊逻辑

定义令 $A$ 和 $A^`$ 区间上两个均匀分布的随机数，其联项可定义为：
$a\land_{A,A^{'}}a^{'}=Pr(A\le a,A^{'}\le a^{'}),\quad 0\le a,a^{'}\le 1$

联项算子完全描述随机数之间的统计相关性

Sklar定理表明：存在 $[0,1]$ 在区间上均匀分布的随机数 $A,A^{'}$ ，可是下列对所有的 $x,x^{'}$ 成立：
$P(x,x^{'})=P(x)\land_{A,A^{'}}P^{'}(x^{'})$

其中，单变量 $x,x^{'}$ 的统计特性描述为累计分布 $P(x),P^{'}(x^{'})$ 。

4.4 广义模糊集理论

广义模糊集理论为模糊集理论提供一个概率基础，令 $I \triangleq [0,1]$ ，定义
$U^*=U\times I$
将** $U^*$ 的任意子集称作广义模糊集**，其构成一个布尔代数。

如果 $f(u)$ 是 $U$ 的一个模糊隶属函数，下式定义一个广义模糊集：
$W_f \triangleq \{(u,a)|a \le f(u)\}$
每个广义模糊集可生成模糊隶属度函数（积分存在）
$\mu_W(u)\triangleq \int_0^1 1_W(u,a)\ da$

$\mu_{W_f}(u)=\int 1_{a\le f(u)(u,a)} \ da=\int_0^{f(u)}da=f(u)$

4.4.1 广义模糊事件的随机集表示

如果 $A$ 是 $I$ 上均匀分布的一随机数， $W \subseteq U^*$ 表示广义模糊集， $U$ 的随机子集 $\Sigma_A(W)$ 定义为
$\Sigma_A(W) \triangleq \{u|(u,A)\in W \}$
$\Sigma_A(W)$ 追踪了一个多值函数的水平集。

4.5 Dempster-Shafer理论

基本质量赋值（b.m.a)：定义在子集 $u\subseteq U$

除有限数目的子集（称作 $m$ 的焦元）外，其他所有子集 $U,m(U)=0$
$\sum_{U}m(U)=1$
$m(\emptyset)=0$
解释 $m(U)$ ：假设 $U$ 的置信度
假设 $U=U$ ：表示完全不确定（空假设）

基本概率赋值：由 $U$ 的有限个子集 $U_1,\cdots,U_d$ 组成，各自有非零质量 $m_1,\cdots,m_d$ ，且 $m_1+\cdots+m_d=1$ ，对于 $i=1,\cdots,d，m(U_i)=m_i$ ，若 $U\neq U_i$ ，则 $m(U)=0$ 。

信任函数
$Bel_m (U) \triangleq \sum_{V \subseteq U} m(V)$
似真函数
$Pl_m (U) \triangleq 1 - Bel_m (U^c)=\sum_{V \cap U \neq \empty}m(V)$
共性函数
$Q_m(U) \triangleq \sum_{V \supseteq U} m(V)$

4.5.1 Dempster组合

假定两个b.m.a相互独立（某种意义），采用以下对其进行融合：
$\begin{aligned} (m_1 \oplus m_2)(U) &\triangleq \alpha^{-1} \sum_{U_1 \cap U_2 = U}m_1(U_1) \cdot m_2(U_2) \\ (m_1 \oplus m_2)(\empty) &\triangleq 0 \end{aligned}$
其中，一致性因子 $\alpha$ 非零，组合 $m_1 \oplus m_2$ 才有意义，即：
$\alpha \triangleq \sum_{U_1 \cap U_2 \ne }m_1(U_1)\cdot m_2(U_2)\ne 0$

融合可表示为一种类似贝叶斯规则的关系：
$(m_1 \oplus m_2)(\{u\})\propto L_{m_1}(u)\cdot m_2 (\{u\})$
其中， $L_{m_1}(u) \triangleq \sum_{U \ni u}m_1(U)$ ，以元素为主体改变表达式。

若 $m_1$ 的焦集全是孤元集，则
$(m_1 \oplus m_2)(u) \propto m_1(u)\cdot m_2(u)$
如果将 $m_1$ 和 $m_2$ 视作后验概率分布，下式为贝叶斯规则的一种特殊情况：贝叶斯平行组合
$(P_1 \oplus_q P_2) \propto p_1(u)\cdot p_2(u) \cdot q(u)^{-1}$
其中： $p_1(u)$ 和 $p_2(u)$ 为条件独立的两个后验分布，它们具有共同的先验分布 $q(u)$ ，且先验分布 $q(u)$ 服从均匀分布。

4.5.1.1 未归一化Dempster组合

未归一化组合：
$(m_1 \cap m_2)(U) \triangleq \sum_{U_1 \cap U_2 = U}m_1(U_1)\cdot m_2(U_2)$
称作广义基本概率赋值（广义b.m.a）。

4.5.1.2 修正的Dempster组合

目的：解决非均匀先验下Dempster规则失效问题

修正的Dempster组合：
$（m_1 \oplus m_2)(U)\triangleq \alpha^{-1}\cdot \sum_{U_1 \cap U_2 =U}m_1(U_1)\cdot m_2(U_2)\cdot \alpha_q(U_1,U_2)$
修正的一致性因子不为零：
$\alpha \triangleq \sum_{U_1,U_2}m_1(U_1)\cdot m_2(U_2)\cdot \frac{q(U_1 \cap U_2)}{q(U_1)\cdot q(U_2)}$
其中 $q(U) \triangleq \sum_{u\in U} q(u)$

如果 $m_1$ 和 $m_2$ 的焦集全为孤元集则：
$(m_1 \oplus m_2)(u) \propto m_1(u)\cdot m_2(u)\cdot q(u)^{-1}$

4.5.4 不确定事件的随机集表示

定义 $U$ 的随机子集 $\Sigma_m$ ：
$Pr(\Sigma_m=U)=m(U)$
则** $\Sigma_m$ 为 $m$ 的随机集表示**。

信任函数、似真函数和共性函数依概率重新定义为：
$\begin{aligned} Bel_m(U)&=Pr(\Sigma_m \subseteq U)\\ Pl_m(U)&=Pr(\Sigma_m \cap U \ne \emptyset)\\ Q_m(U)&=Pr(\Sigma_m \supseteq U) \end{aligned}$
如果 $\Sigma_{m_1}$ 和 $\Sigma_{m_2}$ 统计独立，且 $Pr(\Sigma_{m_1} \cap \Sigma_{m_2} \ne \emptyset)$ ，则Dempster规则的概率解释为：
$(m_1 \oplus m_2)=Pr(\Sigma_{m_1} \cap \Sigma_{m_2} = U|\Sigma_{m_1} \cap \Sigma_{m_2} \ne \emptyset)$

4.6 模糊Dempster-Shafer理论

对模糊集的隶属函数进行质量赋值，将普通b.m.a推广到模糊b.m.a。
一个模糊b.m.a：是定义在论域 $U$ 上的隶属度函数 $f$ 上的非负函数，满足：
- 除了有限数目的的 $f$ 外，对其他所有 $f$ ，有 $m(f)=0$
- $\sum_f m(f)=1$
- $m(\emptyset)=0$
一个模糊b.m.a：由 $U$ 的有限个模糊隶属度函数 $f_1,\cdots,f_d$ 组成，它们各自赋予非零质量 $m_1,\cdots,m_2$ ，且 $m_1 + \cdots + m_d =1$

4.6.1 模糊DS证据的随机集表示

令 $f_1 \cdots,f_e$ 为一系列系列模糊隶属函数，它们的权值为 $o_i=o(f_i)>0$
用广义模糊函数集 $W_f=\{(u,a)|a \le f(u) \}$ 表示模糊隶属函数 $f$
表示模糊DS证据 $o$
- 将区间 $I=[0,1]$ 划分为 $e$ 长度分别为 $o_1,\cdots,o_e$ 的子区间 $I_1,\cdots,I_e$
- 压缩集合 $W_{f_i}$ ，直到其正好包含于 $U\times I_i$ ，得到一个克表示 $f_i$ 的广义模糊子集 $W_i$ ，且不同的 $W_i$ 是互斥的

4.7 推理规则

4.7.1 规则的概念

基于规则的推理

根据假言推理（逻辑法则）
过程：在观测到前提事件 $X$ 后，从知识库中凑趣合适的规则 $X\to S$ ；然后触发该规则并推断出结果事件 $S$ 以及 $S\cap X$

清晰规则

一阶规则

$X\to S="如果X,则由、有S"$

复合规则：允许在两个备择规则中选择

$(X_1 \to S_1)或(X_2 \to S_2)$

二阶规则：如果规则1成立，则规则2成立

$(X_1 \to S_1) \to (X_2 \to S_2)$

模糊规则：与清晰规则相同形式，只是其前提和结果都是模糊隶属度函数

模糊的一阶规则
模糊的复合规则
模糊的二阶规则

第5章 UGA观测

5.1 本章简介

广义观测的形式化贝叶斯建模

本源明确的模糊观测

观测建模本身包含模糊性
观测和目标状态的关系用精确的传感器转换模型描述

例子

操作员从合成孔径雷达图像中提取轮胎数 $n$ 的特征
目标类型 $v$ 与其轮胎数 $n$ 的关系 $n=\eta(v)$ 先验已知
假设 $n$ 可能的取值为 $n=1,\cdots,8$ ，广义观测 $\Theta$ 为集合 $\Im_0=\{1,\cdots,8\}$ 的随机子集
广义观测模型 $\eta(v) \in \Theta$ 表示数据模型 $\Theta$ 与特征 $\eta(v)$ 间的匹配关系
广义似然函数 $f(\Theta|v)=Pr(v\in \Theta)$ 对广义观测模型的度量

5.1.1 符号表示

目的：让结论同时适用于连续空间和有限空间

目标状态空间：欧氏空间 $\R^N$ 和有限集 $C$ 的笛卡尔积 $\R^N \times C$ ，其积分如下
$\int_S f(x)dx \triangleq \sum_c \int 1_S(u,c)\cdot f(u,c)du$
基本观测空间：欧氏空间 $\R^M$ 和有限集 $D$ 的笛卡尔积 $\R^M \times D$ ，其积分如下
$\int_T g(z)dz \triangleq \sum_e \int 1_T(v,e)\cdot g(v,e)dv$
实际观测空间：基本观测空间的所有随机闭子集构成的集合系。

当前时刻的广义似然函数：
$f(\Theta|x) \triangleq f_{k+1}(\Theta|x)$

5.2 UGA观测的概念

构造有关观测内容的某种解释或观点：由知识局限性引入的任何不确定性

5.2.1 UGA观测建模

精确的确定性矢量观测 $z$ （最简单的观测）
随机矢量观测 $Z$ （对 $z$ 随机化）
非精确观测（非统计性模糊性）
- 数据源不能确定 $z$ 的精确值，只能确定其属于某个观测集 $O$ ，集合 $O$ 才是正确的观测量
随机非精确观测：对 $O$ 做随机化，比如给位置、尺度等变量加入随机性
模糊观测：考虑单约束 $O$ 可能引起的错误，数据源可指定一系列嵌套集合 $O_0 \subset O_1 \subset \cdots O_e$ 作为备择约束，每个约束的置信度为 $o_i \ge 0$ ,且 $o_1 + \cdots + o_e =1$ 。约束及其置信度权值构成实际的观测。
- 模糊：嵌套集合约束的规范
- DS意义下的不确定性：视作模糊概念的推广，各个假设分量间无需再满足嵌套关系
  - 对有限个子集 $O$ ， $Pr(\Theta=0)=o(O)$
- 随机不确定性观测：随机化所有参数

5.2.2 观测生成过程的建模

状态-观测的转换模型

$z=\eta(x) \triangleq \eta_{k+1}(x)$

定义称模糊观测 $\Theta$ 与数据生成模型 $\eta(x)$ 是相合的：
$\eta(x) \in \Theta$

5.3 UGA观测的似然函数

定义广义观测 $\Theta$ 的广义似然函数：
$f(\Theta|x) \triangleq Pr(\eta(x) \in \Theta )$

广义似然函数的积分可能为无穷，所以叫广义的

第6章 AGA观测

6.1 本章简介

观测建模本身包含模糊性（涉及操作员的解释过程）
观测方程 $\eta(x)$ 本身也是模糊的（很难精确描述，无法用函数关系明确定义）

6.2 AGA观测的定义

对 $\eta(x)$ 的已知信息只局限于某种约束 $\eta(x)\in H_{0,x}$ ， $\eta(x)$ 的取值为集合，即 $\eta(x)=H_{0,x}$ ，有时需要指定一系列嵌套约束 $H_{0,x} \subset H_{1,x} \subset \cdots \subset H_{e,x}$ ，其中 $H_{i,x}$ 是正确约束的概率为 $\eta_{i,x}$

定义 $\eta(x)=\Sigma_x$ ： $Pr(\Sigma=H_{i,x})=\eta_{i,x}$ , $\Sigma_x$ 可以是任意随机闭子集。

6.3 AGA观测的似然函数

表示观测 $\Theta$ 和广义模型 $\eta(x)=\Sigma_x$ 的匹配关系
$f(\Theta|x)=Pr(\Sigma_x \in \Theta)$
当 $\Sigma_x$ 的模糊程度较大，回出现性能的不稳健情况，使用松弛模型：
$f(\Theta|x) \triangleq Pr(\Theta \cap \Sigma_x \ne \emptyset)$

广义观测 $\Theta$ 和广义模型 $\Sigma_x$ 只要不完全矛盾，二者就可相互匹配。

6.3.1 情景一： $\Theta$ 和 $\Sigma_x$ 均为模糊型

假定：传感器变换模型合观测均是模糊的
$\begin{aligned} \Sigma_x&=\Sigma_A(\eta(x))\\ \Theta_g&=\Sigma_A(g) \end{aligned}$
其中： $A$ 为 $[0,1]$ 区间上均匀分布的随机数。

定义 $g$ 的广义似然 $f(g|x)$ 为
$\begin{aligned} f(g|x)&\triangleq Pr(\Theta_g \cap \Sigma_x \ne \emptyset) \\ f(g|x)&=\sup_{z} \min\{g(x),\eta_x(z)\} \end{aligned}$

6.3.2 情景二： $\Theta$ 合 $\Sigma_x$ 均为广义模糊型

假设：传感器变换模型合观测均为广义模糊
$\begin{aligned} \Sigma_x&=\Sigma_A(W_x)\\ \Sigma_W&=\Sigma_A(W) \end{aligned}$
定义 $g$ 的广义似然 $f(g|x)$ 为
$\begin{aligned} f(W|x)&\triangleq Pr(\Theta_W \cap \Sigma_x \ne \emptyset) \\ f(W|x)&=\sup_{z} \int_0^1 1_W(z,a)\cdot1_{W_x}(z,a)da \end{aligned}$

6.3.3 特例三： $\Theta$ 和 $\Sigma_x$ 均为DS型

假设：

$o(O)$ 为DS型观测
$\sigma_x(O)$ 为目标状态为 $x$ 的条件下与观测生成过程有关的模糊型
$\Theta_o$ 为 $o$ 的随机集表示
$\Sigma_x$ 为 $\sigma_x$ 的随机集表示

$o$ 的广义似然
$\begin{aligned} f(o|x)&\triangleq Pr(\Theta_0 \cap \Sigma_x \ne \emptyset)\\ &=\sum_{O,O^{'}}Pr(\Theta_o = O,\Theta_x = O^{'},O\cap O^{'}\ne \emptyset)\\ &=\sum_{O\cap O^{'}\ne \emptyset}Pr(\Theta_o = O) \cdot Pr(\Theta_x = O^{'})\\ &=\sum_{O\cap O^{'}\ne \emptyset} o(O)\cdot \sigma_x(O^{'})\\ &=\alpha_{DS}(o,\sigma_x) \end{aligned}$

6.3.4 特例四： $\Theta$ 和 $\Sigma_x$ 均为模糊Ds型

假设：

$o(g)$ 为模糊DS观测
$\sigma_x(g)$ 为慕白哦状态 $x$ 的条件下与观测生成过程有关的模糊性
$\Theta_o=\Sigma_A(W_o)$ 为 $o$ 的随机集模型
$\Sigma_x=\Sigma_{A^`}(W_{\sigma_x})$ 为 $\sigma_x$ 的随机集模型

$o$ 的广义似然
$\begin{aligned} f(o|x) &\triangleq Pr(\Theta_o \cap \Sigma_x \ne \emptyset)\\ &=\alpha_{FDS}(o,\sigma_x) \end{aligned}$

其中， $\alpha_{o,o^`}$ 表示两个模糊b.m.a的一致性

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