算法设计与分析：分治思想（4）- 快速傅立叶变换（对数组的归约）

本文参考UCAS卜东波老师的计算机算法设计与分析课程撰写

前言

本文主要讲述分治思想在快速傅立叶变换（FFT）中的应用。快速傅立叶变换本质上属于多项式求值，将输入的n个复数 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$变换成n个复数 $y_0,y_1,...y_{n-1}$。

快速傅立叶变换（FFT）

问题描述与分析

• 给定n个复数的数组 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$，求 $A(x) = a_0+a_1+...+a_{n-1}x^{n-1}$在n个特定点 $1,\omega,\omega^2,...,\omega^{n-1}$的值，其中 $\omega=e^{\frac{2\pi}{n}i}$,表n次单位复根

  将上述问题写成结果如下：
  $y_0 = a_0 + a_1+ ... +a_{n-1} \\ y_1 = a_0 + a_1\omega+...+a_{n-1}\omega^{n-1}\\ ...\\ y_{n-1} = a_0 + a_1\omega^{n-1}+...+a_{n-1}\omega^{(n-1)^2}$
  考虑最简单的办法，对一个 $y_i$需要用一次for循环（包含n-1次加法和乘法），n个则复杂度为 $O(n^2)$，在分治思想（3）- 平面最近点对寻找问题（对点集归约）一文中也提到过， $O(n^2)$在遇到n数据规模较大时就力不从心了，因此能否考虑通过分治来降低复杂度。

解决思路

首先观察多项式能进行分治的前提，对单位复根敏感的童鞋应该很容易知道其必然会周期性变化，这里有几个值需要知道 $e^{i\pi}=-1,e^{2\pi}=1$（依据复数的三角和指数形式对应即可），所以有 $\omega^i=w^{n+i}$，可以发现上述多项式中有很多重复计算的地方，为了更明显的感受，我们举几个简单的例子。

• 当n=4时
  

  可以发现红色区域的内容相同，蓝色区域的内容相差一个 $\omega^2$
  因此我们只需要计算一半的内容即可。由于加法次数多于乘法，因此复杂度只需考虑加法使用的次数，本次计算耗时： $2（红色用两次加法）+ 2（蓝色用两次加法）+4（中间的4个加法）=4log_24$

• 当n=8时
  同样对于n=8的情景是类似的，由于数量过于庞大，这里沿用卜老师的图片
  
  其中，红色区域完全一样，蓝色区域差 $\omega^4$,再进一步我们可以发现红色区域其实就类似于n=4的情况，其左上与左下相同，右上与右下差 $\omega^2$，最终可以得到如下图（该图展示了整个分治计算的过程）
  

  其中，绿色区域覆盖全部，表示开始需要计算的内容，棕色区域只包含了上半部分的两块内容，在得到棕色区域结果后可以顺势得到下半部分的绿色区域，橙色区域包含上面1/4部分的两块区域，红色区域则值包含最上面一行的两块区域。 绿(要求)->棕(要求)->橙(要求)->红(解)->橙(解)->棕(解)->绿(解)，这是一个很明显的递归过程。

• 算法复杂度
  这个算法复杂度的计算也很容易，我们在每次划分的时候按照下标的奇偶性将数组分成两份，如n=8时，第一次递归， $a_0,a_2,a_4,a_6$一组， $a_1,a_3,a_5,a_7$一组，再进一步递归， $a_0,a_4$一组， $a_2,a_6$一组…而在计算得到各组的结果后将其线性求和（奇数部分要乘上 $\omega^i$系数），所用时间复杂度为 $O(n)$(即中间的加法操作)，因此有
  $T(n) = 2T(\frac{n}{2})+O(n) = O(nlogn)$

将上述过程转换为伪代码如下（由于伪代码中用到数学符号较多，因此借用书本内容）

逆快速傅立叶变换

所谓逆快速傅立叶变换，即傅立叶变换的反过程，即已知 $y_0,y_1,...,y_{n-1}$，求 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$，值得一提的是，FFT解决的是求值的问题（给定系数，求多项式的值），IFFT解决的是插值问题（给定多项式的值，求系数），将两者写成矩阵形式对比如下：

• FFT
  

• IFFT

本身是一个求逆的过程，由于范德蒙矩阵的特性，得到结果如下， $\overline{\omega}表示共轭$

由此在原始伪代码基础上只需做些许变动即可，如下：

总结

这部分的内容主要阐述了分治思想在多项式计算上的应用，之所以能够分治，是因为我们发现了多项式计算中的冗余部分，这些重复计算内容可以被省略，且多项式的值可以被划分为奇偶两部分的特殊和，那么就可以递归地进行奇偶划分，由此使得计算的复杂度得到了降低。
这里总结一下依据该例得出的分治经验：

1. 先使用最直白的办法（通常复杂度是 $O(n^2)$或以上）
2. 找出算法计算的冗余部分（这一点很重要，如果没有发现冗余直接划分无法将计算的复杂度往下降）

   这里特别说明一下，FFT中能够做到降低复杂度的关键是将问题的解转换成了奇数部分的解和偶数部分解的和（奇数部分要乘一个系数 $\omega^k$），这一步操作使得 $T(n)$分治为 $2T(\frac{n}{2})$，且求和的复杂度是线性的。能够这么做的前提是发现最终的解就是奇数部分和偶数部分的组合形式。假设我们没有发现n=4例子中左上和左下相同，右上和右下仅相差 $\omega^k$，那么分治则不成立。

3. 找出可以递归的入口（能够不断迭代往下进行），在多项式计算中是按照奇偶性进行递归
4. 考虑合并子问题解的额外开销，如果额外开销过大，则不适宜如此划分

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