复变函数
复数, 复数序列和级数
复数相等：\(z_{1}=x_{1}+iy_{1}=z_{2}=x_{2}+iy_{2}, z_{1}=z_{2}\Longleftrightarrow x_{1}=x_{2}, y_{1}=y_{2}.\)
共轭：\(z=x+iy, \bar{z}=x-iy\).
模或长度：\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\)
加法：\(z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2}).\)
乘法：\(z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).\)
归纳定义：\(z^n=z\cdot z^{n-1}.\)
\(z\neq0\)时, 定义\(z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}.\) 相应地归纳, \(z^{-n}=z^{-1}\cdot z^{-(n-1)}\).
减法和除法：可视作逆运算.
运算规律：交换律, 结合律, 分配律.
复数性质：
(1) \(\bar{\bar{z}}=z, \bar{z_{1}+z_{2}}=\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}.\)
(2) \(\bar{z_{1}z_{2}}=\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}, \bar{\frac{z_{1}}{z_{2}}}=\frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}. (z_{2}\neq 0).\)
(3) \(|z|^2=z\bar{z}, Re z=\frac{z+\bar{z}}{2}, Im z=\frac{z-\bar{z}}{2}.\)
复数不等式:
(1) \(|x|=|Re z|\leq |z|; |y|=|Im z|\leq |z|.\)
(2) \(|z|\leq |Re z|+|Im z|.\)
(3) 三角不等式. \(|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|\), 推广到：\(|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}|\leq |z_{1}|+\cdots +|z_{n}|.\)
(4) \(\big||z_{1}|-|z_{2}|\big|\leq |z_{1}-z_{2}|\).
(5) \(|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|, |\bar{z}|=|z|, |\frac{z_{1}}{z_{2}}|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}.\)\
在全体复数集上引进上述代数结构后, 成为复数域, 记作\(\mathbb{C}\), 可看作由实数域\(\mathbb{R}\)添加一个虚数单位扩张得到. \
从一维欧氏空间扩充到二维欧氏平面, 在\(\mathbb{R}^2=\{(x,y):x,y\in \mathbb{R}\}\)中引入乘法运算: \((x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).\) 使得平面\(\mathbb{R}^2\)上的点与全体复数间一一对应. 复数和平面上的点不加区别, 这样表示复数\(x+iy\)的平面称为复平面, 仍然用\(\mathbb{C}\)表示. \
映射：\(\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{R}^2, ~~~~~~ x+iy\mapsto (x,y)\). 从而可以用平面的术语描述复平面.
复数用\(\mathbb{C}\)上的自由向量来表示, \(|z_{1}-z_{2}|\)表示两点之间的距离, \(\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}\).
辐角：实轴正向与非零向量\(z=x+iy\)之间的夹角称为\(z\)的辐角.
辐角正负：由正实轴按逆时针方向转到\(\overrightarrow{OP}\)为正, 顺时针为负.
辐角全体记作\(Arg z(z\neq 0)\). 辐角有无穷多个, 其中任意两个相差\(2\pi\)的整数倍, 其中有且只有一个辐角\(\theta\)满足\(-\pi<\theta\leq \pi\), 记作\(\arg z\), 称之为\(z\)的主辐角, 或\(Arg z\)的主值. 故
\[ Arg z=\{arg z+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}.\]
注：有时也用\(\arg z\)表示\(Arg z\)中任一确定的值, 联系上下文.
\(z=0\)时, \(Arg z\)无意义.
给定任一复数\(z\neq0\), 模\(|z|\), 辐角\(\theta\), 则其实部\(Re z=|z|\cos \theta, Im z=|z|\sin \theta\).
\(z=|z|\cos \theta+i|z|\sin \theta\), 称为复数\(z\)的三角表示式.
如何求得辐角主值？可有下公式
\[ \arg(z)=\left\{ \begin{aligned} \arctan \frac{y}{x},~~~&x>0, y\in\mathbb{R}\\ \pi+\arctan \frac{y}{x},~~~&x<0,y\geq 0\\ -\pi+\arctan \frac{y}{x},~~~&x<0,y<0\\ \pi/2, ~~~&x=0,y>0\\ -\pi/2. ~~~&x=0,y<0 \end{aligned} \right. \]
复数乘积的三角表示式及几何意义：
设 \(z_{1}=|z_{1}|(\cos \theta_{1}+i\sin\theta_{1})\neq 0, z_{2}=|z_{2}|(\cos \theta_{2}+i\sin\theta_{2})\neq 0\).
\(z_{1}z_{2}=|z_{1}||z_{2}|(\cos (\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\).
另一方面, \(z_{1}z_{2}=|z_{1}z_{2}|\big(\cos\arg(z_{1}z_{2})+i\sin\arg(z_{1}z_{2})\big)\),
则\(\arg(z_{1}z_{2})=\theta_{1}+\theta_{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\).
\(Arg(z_{1}z_{2})=Arg z_{1}+Arg z_{2}\), (集合意义下).
复数乘积的模是两个模的乘积, 辐角就是这两个复数的辐角之和(再加\(2\pi\)的整数倍).
几何意义：\(z_{1}z_{2}\)表示的向量：把\(z_{2}\)所表示的向量沿着逆时针方向旋转角度为\(\arg z_{1}\), 向量模再伸长\(|z_{1}|\)所得. 同理, 商的三角表示式和几何意义：
\[ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1}\bar{z_{2}}}{|z_{2}|^2}=\frac{|z_{1}||z_{2}|}{|z_{2}|^2}[\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})]=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}[\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})]\]
故\(|\frac{z_{1}}{z_{2}}|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}, Arg(\frac{z_{1}}{z_{2}}=Arg z_{1}-Arg z_{2}\)(集合相等).
例1.1.1. 求\(Arg(-1+i)\)与\(Arg(-7-11i)\). 方法：先求主值.
例1.1.2. 设\(z_{1},z_{2}\)是两个复数, 求证：\(|z_{1}+z_{2}|^2=|z_{1}|^2+|z_{2}|^2+2Re (z_{1}\bar{z_{2}})\).
证明：模的平方与共轭联系.
例1.1.3. 设\(a_{k},b_{k}, k=1,2,\cdots,n\)是复数, 证明：(C-S不等式): \[|\sum^{n}_{k=1}a_{k}b_{k}|^2\leq \sum^{n}_{k=1}|a_{k}|^2\cdot\sum^{n}_{k=1}|a_{k}|^2.\]
证明：引入辅助级数\(t\), \[\forall t\in\mathbb{C}, |a_{k}-t\bar{b_{k}}|^2=(a_{k}-t\bar{b_{k}})\overline{(a_{k}-t\bar{b_{k}})}=|a_{k}|^2+|t|^2|b_{k}|^2-2Re(a_{k}\bar{t}b_{k}).\] 对\(k\)求和,
\[0\leq\sum^{n}_{k=1}|a_{k}|^2-2Re(\bar{t}\sum^{n}_{k=1}a_{k}b_{k})+|t|^2\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2.\]
\[\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2=0\]时, \(b_{1}=\cdots=b_{n}=0\). 成立.
\[\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2\neq0\]时, 令\[t=\frac{\sum^{n}_{k=1}a_{k}b_{k}}{\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2}\]代入, 得
\[ 0\leq\sum^{n}_{k=1}|a_{k}|^2-2Re\big(\frac{|\sum a_{k}b_{k}|^2}{\sum |b_{k}|^2}\big)+\frac{|\sum a_{k}b_{k}|^2}{\sum|b_{k}|^2} ~~~\Rightarrow|\sum a_{k}b_{k}|^2\leq\sum|a_{k}|^2\sum|b_{k}|^2.\]
至此, 我们知道复数可有坐标表示、向量表示、三角表示, 还可以用指数表示.
定义1.1.4. 设\(z_{n}\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{N},\alpha\in\mathbb{C}\), 若\(\forall~~~\varepsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}, s.t, n>N\) 时, 恒有\(|z_{n}-\alpha|<\varepsilon,\) 则称复数列\(\{z_{n}\}\)收敛于\(\alpha\), 记作\(\lim\limits_{n\to\infty}=\alpha\).
定义1.1.5. 设\(z_{n}=x_{n}+iy_{n}, \alpha=a+ib, a,b,x_{n},y_{n}\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}\), 则\[\lim\limits_{n\to\infty}z_{n}=\alpha \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a, \lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=b.\]
定义1.1.6. 复数的柯西列
定义1.1.7. 复数柯西列的等价定义
定义1.1.8. 对于复数列而言, 柯西列是收敛列.
定义1.1.9. 复数项的无穷级数\[\sum^{\infty}_{n=0}\alpha_{n}=\alpha_{0}+\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}+\cdots\]相应地, 定义复级数收敛和发散性质.
复平面的拓扑
定义圆盘\(D(a,r)=\{z:|z-a|<r\}\), 进而有单位圆盘, 邻域, 空心邻域, 直径记为diam \(E=\sup\{|z_1-z_2|:z_1,z_2\in E\}.\) 设\(E, F\)是任意两个集合, 之间的距离定义为: \(d(E,F)=\inf\{|z_1-z_2|:z_1\in E, z_2\in F\}.\)
内点. 如果对任意\(r>0, D(a,r)\cap E\)中有无穷个点, 那么称点\(a\)为集合\(E\)的聚点或极限点. 如果存在\(r>0, D(a,r)\cap E=\{a\},\) 点\(a\)为集合\(E\)的边界点. 边界点可以属于集合\(E\), 也可以不属于, 如果存在\(r>0, D(a,r)\cap E=\{a\}\), 点\(a\)为边界点但不是聚点, 称之为\(E\)的孤立点.
定理1.2.1 （康托） 设\(F_n\subset \mathbb{C}(n\in\mathbb{N})\)为闭集列, 满足\(F_0\supset F_1\supset\cdots\)且\[\lim\limits_{n\to\infty} diam F_n=0.\] 这是实数域中的闭区间套定理的推广.
紧性. 设点集\(E\subset C, \mathcal{F}\)是一个开集族, 称\(\mathcal{F}\)是集合\(E\)的一个开覆盖, 就是说\(E\)中每一点至少属于\(\mathcal{F}\)中的某一开集, 称\(E\)具有有限覆盖性质, 是指从\(E\)的任意一个开覆盖中必能选出有限个开集\(G_1, G_2, \cdots, G_n,\) 覆盖\(E\), 即\(E\subset \bigcup^n_{k=1} G_k\).
定义1.2.2 具有有限覆盖性质的集合\(E\)称为紧集.
例如, 空集和有限集.