复数——概念和代数运算

复数的引入

追根求源，最初是为了求解没有实数根的二次方程。例如求解

$$x^2+1=0$$
这个由实数组成的方程，显然没有实数根。
所以复数集可以看成实数集合的一个自然扩充。
首先引入一个“新数” $i$。使它满足
$$i^2=-1$$
也就是说 $i$是 $$x^2+1=0$$
的解。
我们再给复数定义：
形如 $z=a+bi$的数就是复数。
其中 $a$和 $b$分别叫做复数 $z$的实部和虚部。
注意， $b$才是虚部， $bi$不是虚部。
记作： $$a=Re(z),b=Im(z)$$

复数$z=a+bi$的分类

当虚部$b=0$时，复数$z$是实数；
当虚部$b!=0$时，复数$z$是虚数；
当虚部$b!=0$，且实部$a=0$时，复数$z$是纯虚数。

一些集合的记号

$$R——实数集，C——复数集$$
$$P——虚数集，Q——纯虚数集$$
有下列关系：
$$R\cap P=\phi$$
$$R\cup P=C$$
$$Q\subsetneq P\subsetneq C$$

复数相等的充分必要条件

设两个复数分别为$z_1=a+bi$,$z_2=c+di$，而二者相等的充分必要条件是$a=c$而且$b=d$。

化虚为实是复数问题的通性通法

复数的运算法则

对于两个复数$z_1=a+bi$，$z_2=c+di$
$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$
$z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$
$z_1\times z_2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)\times(c-di)}{(c+di)\times (c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$

复数的运算定律

复数的加法满足交换律，结合律。
也就是

$$z_1+z_2=z_2+z_1$$
$$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$$
复数的乘法满足交换律、结合律，以及乘法对于加法的分配律。
也就是 $$z_1\times z_2=z_2\times z_1$$
$$(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$$
$$z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$$

共轭复数

定义

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，就称其互为共轭复数。特别地，若复数的虚部不为零时，也称作互为共轭虚数。对于复数$z=a+bi(a、b∈R)$，它的共轭复数用$\bar z=a-bi(a、b∈R)$来表示。
共轭复数有如下基本性质

$$(1) \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}$$
$$(2)\overline{z_1z_2}=\overline{z_1} \ \overline{z_2}$$
$$(3)\overline{(\frac {z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$
$$(4)\overline{z^n}=(\overline z)^n$$
$$(5)z+\overline z=2Re(z),z-\overline z=2iIm(z)$$
$$(6)\overline {\overline z}=z$$
$$(7)z是实数的充分必要条件是\overline z=z;z是纯虚数的充分必要条件是\overline z=-z且z!=0$$

复数的几何形式

复数$z$和复平面上的点$Z(a,b)$有着一一对应的关系，同时，复平面上的点$Z(a,b)$和向量$\overrightarrow {OZ}$有着一一对应的关系。所以复数$z$和向量$\overrightarrow{OZ}$有着一一对应的关系。
复数的模我们定义为对应向量的模。
也就是$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
关于复数的模，有如下的基本性质。

$$(1)z\overline z=|z|^2=|\overline z|^2$$ ;
$$(2)||z_1|-||z_2|\leq |z_1\pm z_2|\leq |z_1|+|z_2|$$
$$(3)|z|\ge max\{|Re(z)|,|Im(z)|\}$$

例题

已知复数$z_1=(m-3)+(m-1)i,z_2=(2m-5)+(m^2+m-2)i$，且$z_1>\overline {z_2}$，试求实数$m$的值。

解

由$z_1>\overline {z_2}$可知，$z_1$、$\overline{z_2}$都是实数。
也就是有：

$$\left\{ \begin{array}{c} m-1=0\\ -(m^2+m-2)=0 \end{array} \right.$$
解得 $m=1$
因为 $z_1>\overline{z_2}$，所以 $m-3<2m-5$，也就是 $m<2$.
$m=1$适合 $m<2$。