什么是生日悖论？

生日悖论

生日悖论是指在不少于 23 个人中至少有两人生日相同的概率大于 50%。例如在一个 30 人的小学班级中，存在两人生日相同的概率为 70%。对于 60 人的大班，这种概率要大于 99%。从引起逻辑矛盾的角度来说，生日悖论并不是一种 “悖论”。但这个数学事实十分反直觉，故称之为一个悖论。生日悖论的数学理论被应用于设计密码学攻击方法——生日攻击。

讲解

设23个人中的一个人为365天任选一天为365/365，第二个人则不能选第一个人的生日为364/365，第三个人则不能选两个人的生日为363/365：

/// @file main.cc
#include <cstdio>

int main()
{
	double ans = 1.0;
	int n = 23;
	for (int i = 0; i < n; ++i )
		ans = ans*(365-i)/365;
	printf("%.10lf\n",1.0 - ans);  
	return 0;
}

最后输出结果如下：

:g++ main.cc -o main
:./main
0.5072972343

将n改为99，结果为：

:./main
0.9941226609

应用

生日悖论普遍的应用于检测哈希函数：N 位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是 2^N 次而是只有 2^N/2 次。这一结论被应用到破解密码哈希函数 (cryptographic hash function) 的 “生日攻击” 中。

生日攻击是一种密码学攻击手段，这种攻击手段可用于滥用两个或多个集团之间的通信。此攻击依赖于在随机攻击中的高碰撞概率和固定置换次数（鸽巢原理）。使用生日攻击，攻击者可在中找到散列函数碰撞，为原像抗性安全性。