快速幂（二分法，位运算）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1226

对于这个问题，当然可以将p个b相乘，但是p的上限是2³¹，而算法的时间复杂度为O§，承受不了这么大的规模。

快速幂

想弄清本题算法，需要先了解取模（求余）运算的一些性质，比如：

递归实现

递归的思想就是利用二分法。它基于如下事实：
(1)如果p是奇数，那么有b^p=b*b^p-1
(2)如果p是偶数，那么有b^p=b^p/2*b^p/2
且临界值b⁰=1.
注意：不能直接写成return binaryPow(b,p/2,k)*binaryPow(b,p/2,k)%k;，这样的话时间复杂度为O(2^logp)=O( p )。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;
LL binaryPow(LL b,LL p,LL k){
	if(p==0) return 1;
	if(p&1==1) return b*binaryPow(b,p-1,k)%k;
	LL mul=binaryPow(b,p/2,k);
	return mul*mul%k;
	//return binaryPow(b,p/2,k)*binaryPow(b,p/2,k)%k;   这么写可不行 
}
int main() {
	LL b,p,k;cin>>b>>p>>k;
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",b,p,k,binaryPow(b,p,k)%k);  //由于p==0时函数没有对其进行取余操作，所以在这里加一句取余比较保险
	return 0;
}

非递归算法

如果把p写成二进制，那么b就可以写成若干二次幂之和，例如13的二进制是1101，于是13=2³+2²+2⁰=8+4+1，所以b¹³=a⁸*a⁴*a¹.
类似的，对于任意a^b，它可以表示为a^2k,…,a⁴,a²,a¹中若干项的成绩。其中，若b的二进制i号位位1，则a²ⁱ就被选中。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;
int main() {
	LL b,p,k;cin>>b>>p>>k;
	printf("%lld^%lld mod %lld=",b,p,k);
	LL ans=1;
	while(p>0){
		if(p&1==1){
			ans=ans*b%k;
		}
		b=b*b%k;
		p>>=1;
	}
	printf("%lld",ans%k);
	return 0;
}