孟岩《理解矩阵系列》，链接如下：
理解矩阵1
理解矩阵2
理解矩阵3
容纳运动是空间的本质特征，运动则是通过矩阵来表示的。
不同的空间有不同的运动（变换），仿射空间有仿射变换，线性空间有线性变换，这些变换都是在其空间下允许的运动形式罢了。
例如，从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。
运动是连续的，光从A点到B点，再快也需要一些时间走遍AB之间所有的点。所以在线性空间中从A点到B点是瞬间的，称为跃迁更合适。跃迁听起来又太拗口，偏物理的词汇令人心烦，故我们又称A点到B点为变换。矩阵是用来表示变换的，这么说就更加严谨了。
什么是线性变换?
线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，那么就称T为线性变换。
非奇异矩阵只对方阵有意义，就是可逆矩阵。
奇异矩阵就是不可逆矩阵，即不是满秩矩阵，行列式为零。
相似矩阵
对于同一个线性变换可以有不同的线性变换的描述，也就是在不同基下的变换矩阵。那么对于描述同一个线性变换的不同描述有什么特点呢？
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P（可逆方阵），使得A、B之间满足这样的关系：A = P-1BP，这就是相似矩阵的定义。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。
原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！
矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。
对象的变换等价于坐标系的变换。
Ma = b即Ma = Ib的意思就是说：在M坐标系里量出来的向量a，跟在I坐标系里量出来的向量b，其实根本就是一个向量啊！（I为单位矩阵）
