看傅里叶变换视频有感

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一，变换

一个点，在笛卡尔坐标系中变换成一个数。

变换通常是为了方便处理某一类型的信息，所以变换一般都有逆变换。

标准正交基：在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis）是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基（Orthonormal basis）。
注意，在没有定义内积的空间中，“正交基”一词是没有意义的。
简单范例
(1). a=(1/4,-1/4,1);b=(2,-2,-1);c=(1,1,0)是 $R^3$的一组正交基；
(2). α=(1,0,0);β=(0,1,0);γ=(0,0,1)是 $R^3$的一组标准正交基。
(3)在欧几里德空间 $R^3$ 中，集合：{e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)}组成一个标准正交基。
(4)由fn(x) = exp（2πinx）定义的集合：
{fn:n∈Z}组成在复勒贝格空间L（[0,1]）上的一个标准正交基。

二,傅里叶级数

傅里叶级数：法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）

傅里叶级数的标准正交基： $1,cos\omega_t,sin\omega_t$

傅里叶级数展开后是信号有了频域特征。有三个特征值：频率（时域），幅值（频域，时域），相位（时域）。

三，傅里叶变换

上面的傅里叶级数是用于分析连续周期函数，更一般地，对于连续非周期函数，则用傅里叶变换。

欧拉公式：欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
$e^{i\omega_t}=cos\omega_t+isin\omega_t$


在进行傅里叶正变换时有两种结果，等于零（表示不含有 $\omega$分量），不等于零（表示含有 $\omega$分量）。

四，应用

声音处理（变声）： 频率低是男声，频率高的是女声，在高频是噪声。可以用于变声。
图像处理（磨皮）：低频是轮廓，高频是细节。可以进行傅里叶变换滤掉高频，再进行傅里叶逆变换。