组合和排序-深度优先遍历DFS解析

我想通过对两个DFS例子的剖析，来加深自己对DFS的学习和理解，有错误之处，不吝指教。

1. 组合

组合DFS的代码来自：https://blog.csdn.net/Mr_Zhangmc/article/details/81940805

组合的题目如下：（题目来自codeup：ID:100000608，问题B）略有改动（去除非递归要求）
排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从n个元素中抽出r个元素(不分顺序且r < ＝ n)，我们可以简单地将n个元素理解为自然数1，2，…，n，从中任取r个数。例如n ＝ 5 ，r ＝ 3 ，所有组合为：
1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 3 4
1 3 5
1 4 5
2 3 4
2 3 5
2 4 5
3 4 5

#include<iostream>
using namespace std;
const int Max=100;
int n,r;
int num[Max]={0};
//当达到边界时， 
void DFS(int index,int count){
	//没啥含义，只是为了更好的解析
	cout<<"**"<<index<<" "<<count<<" "<<endl;
	//记录
	num[count]=index;
	//边界，当有r个元素的时候，已到边界值
	if(count==r){
		//从num[1]~num[r]是暂存的数据
		for(int i=1;i<=r;i++){
			cout<<num[i]<<" ";
		}
		cout<<endl;
		return;
	} 
	//以1 ~ n-r开头的所有组合相加就是所求的组合
	//从首字符分别是从index+1~n 
	for(int i=index+1;i<=n;i++){
		DFS(i,count+1);
	}
}
int main(){
	cin>>n>>r;
	DFS(0,0);
	return 0;
}

输入n=5，r=3后的运行结果如下：

将其图示化，流程图如下：

由上图可知，当DFS(1,1)时（即深蓝色箭头指入虚框内），历经了虚框内的循环后，箭头指到了DFS(2,1)(即深蓝色箭头指出虚框），然后DFS(2,1)以绿色箭头指入虚框，经历虚框内的流程，指出到DFS(3,1)，一直到DFS(5,1)结束循环。
这就对应着：

void DFS(int index,int count){
	//代码省略
	...
	//以1 ~ n-r开头的所有组合相加就是所求的组合
	//从首字符分别是从index+1~n 
	for(int i=index+1;i<=n;i++){
		DFS(i,count+1);
	}
}

当index=0，count=0时，最外面一层有5次DFS即DFS(1,1), DFS(2,1), DFS(3,1), DFS(4,1), DFS(5,1)。

然后进入DFS(1,1)的内递归，经历虚框内的流程后，返回到DFS(2,1)，一直到DFS(5,1)，最后结束。

void DFS(int index,int count){
	//没啥含义，只是为了更好的解析
	cout<<"**"<<index<<" "<<count<<" "<<endl;
	//记录
	num[count]=index;
	//边界，当有r个元素的时候，已到边界值
	if(count==r){
		//从num[1]~num[r]是暂存的数据
		for(int i=1;i<=r;i++){
			cout<<num[i]<<" ";
		}
		cout<<endl;
		return;
	} 
	//代码省略
	...
}

由于每一次递归都会将当前访问的数据保存下来，count是当前index在num数组中所处的位置，当达到递归边界时即抽出的元素count已经达到题目要求的r=3时，num数组中已经存在所要求的内容，输出即可。

2. 全排序

题目：（简略表达）输入n（小于21的正整数），给出1~n的全排列

#include<cstdio>
using namespace std;
const int Max=11;
int n;
//存储排序元素 
int per[Max]={0};
//标记对应元素是否已经参与排序，true已经参与，false未参与 
bool hashTable[Max]={false};
//递归实现DFS 
void DFS(int index){
	//如果已参加排列的个数到达n ，即达到边界 
	if(index==n+1){
		//将其输出 
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(i!= n){
				printf("%d ",per[i]);
			} else {
				printf("%d\n",per[i]);
				return;
			}
		}
	}
	//n个数的全排列=1~n开头的所有排列的和 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		//判断是否已经参与排序 
		if(!hashTable[i]){
			//将当前参与排序的元素暂存至per 
			per[index]=i;
			//置使用标记为true 
			hashTable[i]=true;
			//安排下一个位置 
			DFS(index+1);
			//将当前位置元素的标志位置为false，以便下一轮使用 
			hashTable[i]=false;
		}
	}
}
int main(){
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){
		DFS(1);
	}
	return 0;
} 

运行结果如下：

运行流程图如下：

由上图可以看出，从DFS(1)=1开始，此时待递归的是DFS(1)同层的DFS(1)=2, DFS(1)=3。然后DFS(1)=1继续递归深入，到达DFS(2)层，此时DFS(2)=2或3，选择DFS(2)=2，进入下一层，DFS(3)仅剩最后一个元素可选即DFS(3)=3，然后继续下一层，DFS(4)到达递归边界，输出并返回。
每返回一层，将对应该层的元素的标志位hashTable[i]置为false，以便下一次递归继续使用。当DFS(2)=2选择完毕，而且由于在上上一层递归时，hashTable[3]已经在使用过后设置为false，可以继续使用，因此DFS(2)=3，然后扫描hashTable[1~n]，那个元素对应的标志位为false，那就使用哪个。直至递归边界，然后返回并将对应的标志位置false，返回到DFS(1)=1时，进入DFS(1)=2的递归，同时hashTable[1]=false。
DFS(1)=2的递归过程和DFS(1)=1的递归过程类似，不再赘述。

3.总结归纳

上两道题，说白了就是有这么一个数组num[1~n]， 把n个数填入num数组。在全排序中，num[1]可填的元素有n个，而num[2]可填的元素有n-1个，num[3]有n-2个…num[n]可填的元素有1个。
上两道题的区别在于能否重复利用之前已经使用过的元素，全排序增加了一个标志位数组hashTable[Max]以表示元素的使用情况，每一次递归都扫描1~ n，可以利用之前的元素。而组合是每一次递归从当前index+1~ n，选不到之前的元素，只能从比当前元素大的元素序列中选择。
DFS的可能模板形式：

//具体的参数需要分析题目设计
//index 表示元素编号
//other 表示可能的其他形参
void DFS(int index,{int other}){
	//如果达到递归边界
	if(递归边界){
		//输出内容
	}
	//进入下一次递归式
	//分支路口即进入下一层的路口
	DFS(index+1,{other});
}