ARIMA模型(Autoregressive Integrated Moving Average model)

ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average model），差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动）。
$ARIMA(p,d,q) \begin{cases} AR(p)-p阶自回归\\ MA(q)-q阶滑动平均\\ d为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数） \end{cases}$

模型可表示为：
$\left(1-\sum_{i=1}^p\phi_iL^i\right)(1-L)^dX_t=\left(1+\sum_{i=1}^p\theta_iL^i\right)\varepsilon_t$

ARIMA 模型可以理解为：差分+平稳模型。非平稳模型的数据经过差分处理变成平稳数据，然后再用平稳模型处理。
$\begin{array}{lcl} p阶差分：\Delta^p x_t=\Delta^{p-1} x_t-\Delta^{p-1} x_{t-1}\\ k步差分：\Delta_kx_t=x_t-x_{t-k} \end{array}$

差分的滞后算子L表示：
$\begin{array}{lcl} p阶差分：\Delta^p x_t=(1-L)^p x_t=\sum_{i=0}^p(-1)^iC_p^iL^ix_t=\sum_{i=0}^p(-1)^iC_p^ix_{t-i}\\ k步差分：\Delta_kx_t=x_t-x_{t-k}=(1-L^k)x_t \end{array}$

线性趋势→1 阶差分;
曲线趋势→低阶(2阶或3阶)差分、
固定周期→步长为周期长度的差分
但是对信息进行差分运算会造成信息的损失。