D_4：Con(D_4)=5,每个共轭类的长度=[1,1,2,2,2]
C_8：Con(C_8)=8,每个共轭类的长度=[1,1,1,1,1,1,1,1]
Q_8：Con(Q_8)=5,每个共轭类的长度=[1,1,2,2,2]
D_9：Con(D_9)=6,每个共轭类的长度=[1,2,2,2,2,9]
// 定义：给定群G，对G种的两个元a，b，若存在G种的某个元g，使得g^-1ag=b，就成元素a，b在G中共轭，记为a~b。
bool IsConjugacy(const vector<vector<int>> &vvG,int a,int b)
{
int N=vvG.size();
for(int i=0;i<N;i++)
{
int ai=vvG[a][i]-1;
int ib=vvG[i][b]-1;
if(ai==ib)
return true;
}
return false;
}
vector<int> ConjugacyClasses(const vector<vector<int>> &vvG,int a)
{
vector<int> ret;
int N=vvG.size();
for(int i=0;i<N;i++)
{
bool bCon=IsConjugacy(vvG,a,i);
if(bCon)
ret.push_back(i);
}
return ret;
}
vector<vector<int>> ConjugacyClasses(const vector<vector<int>> &vvG)
{
vector<vector<int>> vv;
int N=vvG.size();
for(int i=0;i<N;i++)
{
vector<int> v=ConjugacyClasses(vvG,i);
vv.push_back(v);
}
sort(vv.begin(),vv.end());
vv.erase(unique(vv.begin(),vv.end()),vv.end());
return vv;
}
//G表示有限群，Con(G)表示G的共轭类个数，o(a)表示元素a的阶。
//群的共轭类个数、长度
vector<int> ConjugacyClasses(int *R,int N,int delt=1)
{
vector<int> ret;
if(!IsGroup(R,N,delt))
return ret;
// // 共轭类数为1的有限群，只能是单位元群{e}。
//if(N==1)
// return 1;
// // 共轭类数为2的有限群，只能是2阶循环群。
//if(N==2)
// return 2;
vector<vector<int> > vvG=Arr2ToVec2(R,N,delt);
vector<vector<int> > vv=ConjugacyClasses(vvG);
int len=vv.size();
for(int i=0;i<len;i++)
ret.push_back(vv[i].size());
sort(ret.begin(),ret.end());
return ret;
}
{
int *Arr[]={g_D4,&g_C8Mul[0][0],&g_Q8Mul[0][0],g_D9};
int Nrr[]={8,8,8,18};
int Drr[]={0,1,1,0};
const char *szName[]={"D_4","C_8","Q_8","D_9"};
int n=sizeof(Arr)/sizeof(Arr[0]);
for(int i=0;i<n;i++)
{
int *A=Arr[i];
int N=Nrr[i];
vector<int> v=ConjugacyClasses(A,N,Drr[i]);
string str="[";
for(int j=0;j<v.size();j++)
{
char sz[20]={0};
sprintf(sz,"%d,",v[j]);
str+=sz;
}
str.pop_back();
str+="]";
printf("%s：Con(%s)=%d,每个共轭类的长度=%s\n",szName[i],szName[i],v.size(),str.c_str());
}
system("pause");
return 0;
}
编号 GAP 序列号 性质 指数 中心 G/[G,G] 共轭类 子群 子群类 正规子群
1 1 循环 8 C8 C8 8 -- -- --
2 2 阿贝尔 4 C2×C4 C2×C4 8 -- -- --
3 5 阿贝尔 2 C23 C23 8 -- -- --
4 4 幂零 4 C2 C22 5 6 6 6
5 3 幂零 4 C2 C22 5 10 8 6
编号 GAP 序列号 性质 指数 中心 G/[G,G] 共轭类 子群 子群类 正规子群
1 2 循环 18 C2×C9 C2×C9 18 -- -- --
2 5 阿贝尔 6 C2×C32 C2×C32 18 -- -- --
3 1 两面体 18 1 C2 6 16 6 4
4 4 可解 6 1 C2 6 28 12 7
5 3 可解 6 C3 C2×C3 9 14 9 6
G=D9由 3 个元素 {a1, a2, a3} 生成, 具有相应的阶 ( 2, 9, 3 ). 它也由 2 个元素 {a1, a2} 生成, 相应的阶为 ( 2, 9).
G 有 6 个元素共轭类, 16 个子群在 6 个子群共轭类里, 其中 4 是正规子群.
G=G18_5由 3 个元素 {a1, a2, a3} 生成, 具有相应的阶 ( 2, 3, 3 ).
G 有 6 个元素共轭类, 28 个子群在 12 个子群共轭类里, 其中 7 是正规子群.
G=D3C3由 3 个元素 {a1, a2, a3} 生成, 具有相应的阶 ( 2, 3, 3 ). 它也由 2 个元素 {a3, a2 a1} 生成, 相应的阶为 ( 3, 6).
G 有 9 个元素共轭类, 14 个子群在 9 个子群共轭类里, 其中 6 是正规子群.
共轭元素的定义：对于群G中的任意元素s，元素g和f=sgs^(-1)定义为互共轭元素，记为g~f。
自轭性: 任何元素与其本身共轭, 即g~g
对称性: 若g~f, 则f~g.
传递性: 若g~f_1,g~f_2,则f_1~f_2。
类的定义：群G中所有相互共轭的元素构成的集合称为群G的一个类。根据共轭关系的性质，群G的一个类中的元素可由该类中任一元素生成, 即f类={f'|f'=sfs^(-1),s∈G}，s取遍群G所有元素，重复元素sfs^(-1)只取一次。根据共轭的传递性可证: 两个不同的类没有公共元素。
定理：有限群的阶是每一个类的元素个数的整数倍。
E.Landau定理（Frobenius猜想）：共轭类数为n的有限群，在同构意义下是有限的。
定理：有限群为交换群的充要条件是Con(G)=|G|。
定理：共轭类数为1的有限群，只能是单位元群C_1。共轭类数为2的有限群，只能是2阶循环群C_2。共轭类数为3的有限群，是可解群，是3阶循环群或者6阶群。
Abel群G的每一共轭类只含一个元素，也就是说，G上每一个函数都是类函数。这种群的线性表示特别简单。
定理9：下列性质是等价的：
1.G是一个Abel群。
2.G的一切不可约表示都是一级的。
定理7：G的不可约表示的个数（确切到同构）等于G的共轭类的个数。
G的两个元素t和t'说是共轭的，如果存在s∈G使得t'=sts^(-1)；这是一个等价关系，这个关系将G划分成类（也叫做共轭类）。
——群G的共轭类个数k是G的不变量，G是Abel群当且仅当k=|G|
——群G的共轭类个数与群G的同阶元个数分布是G的两个不变量，同阶元之间不一定共轭
20151006：GAP求有限群的共轭类个数以及每个共轭类的长度
gap> n:=18;;len:=NumberSmallGroups(n);;for i in [1..len] do Print(Size(ConjugacyClasses(SmallGroup(n,i))),","); od;
6,18,9,6,18,
gap> n:=8;;len:=NumberSmallGroups(n);;for i in [1..len] do Print(Size(ConjugacyClasses(SmallGroup(n,i))),","); od;
8,8,5,5,8,
gap> G:=SmallGroup(8,3);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<pc group of size 8 with 3 generators>
[ 8, 3 ]
[ <identity> of ...^G, f1^G, f2^G, f3^G, f1*f2^G ]
5
1,2,2,1,2,
[ 8, 3 ],[ 4, 2 ],[ 4, 2 ],[ 8, 3 ],[ 4, 1 ],
gap> G:=SmallGroup(8,4);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<pc group of size 8 with 3 generators>
[ 8, 4 ]
[ <identity> of ...^G, f1^G, f2^G, f3^G, f1*f2^G ]
5
1,2,2,1,2,
[ 8, 4 ],[ 4, 1 ],[ 4, 1 ],[ 8, 4 ],[ 4, 1 ],
gap> G:=SmallGroup(8,1);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<pc group of size 8 with 3 generators>
[ 8, 1 ]
[ <identity> of ...^G, f1^G, f2^G, f3^G, f1*f2^G, f1*f3^G, f2*f3^G, f1*f2*f3^G ]
8
1,1,1,1,1,1,1,1,
[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],
gap> G:=SmallGroup(8,2);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<pc group of size 8 with 3 generators>
[ 8, 2 ]
[ <identity> of ...^G, f1^G, f2^G, f3^G, f1*f2^G, f1*f3^G, f2*f3^G, f1*f2*f3^G ]
8
1,1,1,1,1,1,1,1,
[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],
gap> G:=SmallGroup(8,5);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<pc group of size 8 with 3 generators>
[ 8, 5 ]
[ <identity> of ...^G, f1^G, f2^G, f3^G, f1*f2^G, f1*f3^G, f2*f3^G, f1*f2*f3^G ]
8
1,1,1,1,1,1,1,1,
[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],