51nod 种田 题解

题目

题解

设横着每行放 $x$ 个，竖着每排放 $y$ 个，那么显然有一个柿子：
$\begin{aligned} \frac {n-xL} {x+1}&=\frac {m-yL} {y+1}\\ \frac {n-xL} {x+1}-\frac {m-yL} {y+1}&=0\\ \frac {ny-xyL+n-xL-xm+xyL-m+yL} {(x+1)(y+1)}&=0\\ ny+n-xL-xm-m+yL&=0\\ y(n+L)-x(L+M)&=m-n\\ \end{aligned}$

设 $a=-m-L,b=L+m$，那么有：
$ax+by=m-n$

然后可以用扩展欧几里得算出一组特解 $x_1,y_1$，设 $g=\gcd(a,b)$，那么通解为 $x=x_1-k\frac b g,y=y_1+k\frac a g$。

根据题目要求，有：
$\begin{cases} 1\leq x \leq \lfloor \frac n L \rfloor\\ 1\leq y \leq \lfloor \frac m L \rfloor \end{cases}$

那么我们可以将 $x,y$ 带进去，大力算出 $k$ 的取值范围。

具体来说我们需要分类讨论：

g>0 时

（避免理解出问题，这里还是要提一下，a显然小于0）

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$\begin{aligned} x_1-k\frac b g &\geq 1\\ k&\leq \lfloor \frac {x_1-1} {\frac b g} \rfloor \end{aligned}$

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$\begin{aligned} x_1-k\frac b g &\leq \lfloor \frac n L \rfloor\\ -k\frac b g &\leq \lfloor \frac n L \rfloor-x_1\\ -k&\leq \lfloor \frac {\lfloor \frac n L \rfloor-x_1} {\frac b g} \rfloor\\ k&\geq \lceil \frac {x_1-\lfloor \frac n L \rfloor} {\frac b g} \rceil\\ \end{aligned}$

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$\begin{aligned} y_1+k\frac a g &\geq 1\\ k&\leq \lceil \frac {1-y_1} {\frac a g } \rceil \end{aligned}$

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$\begin{aligned} y_1+k\frac a g&\leq \lfloor \frac m L \rfloor\\ k\frac a g&\leq \lfloor \frac m L \rfloor -y_1\\ k&\geq \lfloor \frac {\lfloor \frac m L \rfloor -y_1} {\frac a g} \rfloor\\ \end{aligned}$

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这样就可以算出 $k$ 的取值范围，假如左端点大于右端点，那么无解输出 $0$ 即可。

g<0 时

将上面所有柿子的结果的符号取反即可。（即 $\leq$ 变成 $\geq$， $\geq$ 变成 $\leq$）。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

ll gcd(ll x,ll y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)return x=1,y=0,a;
	ll re=exgcd(b,a%b,y,x);
	return y-=a/b*x,re;
}
ll n,m,L;
ll x,y,a,b,g;
ll min_k,max_k;

int main()
{
	scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&L);
	a=-m-L;b=n+L;
	g=exgcd(a,b,x,y);
	if((m-n)%g)return printf("0"),0;
	x*=(m-n)/g;y*=(m-n)/g;
	if(g>0)
	{
		min_k=max( (ll)ceil((double)(m/L-y)/(a/g)) , (ll)ceil((double)(x-n/L)/(b/g)) );
		max_k=min( (ll)floor((double)(x-1)/(b/g)) , (ll)floor((double)(1-y)/(a/g)) );
	}
	else
	{
		min_k=max( (ll)ceil((double)(x-1)/(b/g)) , (ll)ceil((double)(1-y)/(a/g)) );
		max_k=min( (ll)floor((double)(x-n/L)/(b/g)) , (ll)floor((double)(m/L-y)/(a/g)) );
	}
	printf("%lld",max(max_k-min_k+1,0ll));
}