51nod 1737 配对 题解

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题目大意： 给出一棵树，两个点配对的贡献是两点间的距离，求最大贡献和。

题解

出于某些原因来水一下这题题解，如果你是从超链接来的大概就知道原因了qwq。

思路是贪心，对于每条边，他的贡献次数为 它连接的两棵子树中 较小的子树的大小，显然这是它的最大贡献次数，需要证明的是：总是存在一种方案使得每条边的贡献次数都是最大的。下面给出一种方案：

先找出树的重心作为根，然后给每个点染色，两个点颜色相同当且仅当两个点属于根节点的同一个儿子的子树，特别的，根节点与其他点颜色都不同。

接下来将这些点进行配对，并保证配对的点颜色不同即可。将相同颜色的点放在一起，对于第 $i\in [1,\frac{n}{2}]$ 个点，将它与第 $i+\frac{n}{2}$ 个点配对，这样就可以保证配对的点颜色不同，因为树的重心有一个性质：每棵子树大小都不超过 $\frac{n}{2}$，即每种颜色的点数不超过 $\frac{n}{2}$，那么第 $i$ 个点和第 $i+\frac{n}{2}$ 个点颜色必定不同。

举个例子，对于这样一棵树：

$2,3,4$ 的颜色相同，其他点互不相同。

相同颜色的放在一起，就是 $1,5,6,2,3,4$，$\frac{n}{2}=3$，即第 $i$ 个数与第 $i+3$ 个数配对，$(1,2),(5,3),(6,4)$，这就是最优配对方案，你可以随便填一些边权来手玩一下。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 100010

int n;
struct edge{
    
    int y,z,next;}e[maxn<<1];
int first[maxn],len=0;
void buildroad(int x,int y,int z){
    
    e[++len]=(edge){
    
    y,z,first[x]};first[x]=len;}
int size[maxn];
long long ans=0;
void dfs(int x,int fa){
    
    
	size[x]=1;
	for(int i=first[x],y;i;i=e[i].next)
	if((y=e[i].y)!=fa)dfs(y,x),ans+=1ll*e[i].z*min(size[y],n-size[y]),size[x]+=size[y];
}

int main()
{
    
    
	scanf("%d",&n);for(int i=1,x,y,z;i<n;i++)
	scanf("%d %d %d",&x,&y,&z),buildroad(x,y,z),buildroad(y,x,z);
	dfs(1,0);printf("%lld",ans);
}