Codeforces 1204 E Natasha, Sasha and the Prefix Sums —— 组合，转换为路径问题

This way

题意：

现在有n个1，m个-1，让你构造n+m长度的串，将所有情况的最大前缀和相加。问你答案是多少。

题解：

这道题也就是相当于转换成一个n*m的网格，横轴代表-1，纵轴代表1.那么我们枚举最大前缀的值i，也就是问你有多少路线从(0,0)走到(m,n)的同时正好穿过y=x+i这条线。
那么可以将(0,0)这个点照y=x+i这条线做个对折，到(-i,i)。那么这个点到(n,m)点的路线就都穿过y=x+i这条线。即为 $C_{n+m}^{n-i}$。从(-i,i)到(n,m)的所有路径可以看成有n+m个空，n个放1，m个放-1.
但是要注意需要减去 $C_{n+m}^{n-i-1}$，也就是减去i+1的答案。枚举的i也必须大于等于n-m。最后一点它的模数是998244853.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod=998244853;
const int N=4e3+5;
ll c[N][N];
int main(){
    for(int i=0;i<N;i++)
        c[i][0]=c[i][i]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
        for(int j=1;j<i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ll ans=0;
    for(ll i=n;i&&i>=n-m;i--){
        ll sum=(c[n+m][n-i]-(n-i?c[n+m][n-i-1]:0)+mod)%mod;
        ans=(ans+sum*i)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}