LeetCode-650只有两个键的键盘 动态规划

题目描述

最初在一个记事本上只有一个字符 ‘A’。你每次可以对这个记事本进行两种操作：

1. Copy All (复制全部) : 你可以复制这个记事本中的所有字符(部分的复制是不允许的)。
2. Paste (粘贴) : 你可以粘贴你上一次复制的字符。

给定一个数字 n 。你需要使用最少的操作次数，在记事本中打印出恰好 n 个 ‘A’。输出能够打印出 n 个 ‘A’ 的最少操作次数。n的取值范围是[1,1000]

示例：
输入： 3
输出： 3
解释：
最初，我们只有一个字符 ‘A’。
第 1 步，我们使用 Copy All 操作。
第 2 步，我们使用 Paste 操作获得 ‘AA’。
第 3 步，我们使用 Paste 操作获得 ‘AAA’。

动态规划解法

建立并维护两个长度为n+1（因为数组的下标从0开始）的一维表dp和copyLen，dp[i]存储得到长度为i的’A’字符串需要的最少操作次数,copyLen记录用最少操作得到长度为i的’A’字符串时被复制串的长度。接下来：

1. 将dp[0]、dp[1]、dp[2]分别初始化为0、0、2，其他dp[i]值初始化为Integer.MAX_VAULE，copyLen[2]初始化为1；
2. 从i=2开始遍历。在遍历过程中，我们可以进行以下两种操作更新dp表和copyLen，直到遍历到i=n：
   （1）操作1：直接进行粘贴操作 —— 从当前字符长度开始使用当前被复制的长度直接粘贴，字符长度每次增加copyLen[i]变为j，当原dp[j]小于dp[i]+粘贴次数，更新dp[j]和copyLen[j]
   （2）操作2：先复制再粘贴 —— 先进行一次复制操作，被复制字符长度更新为copyNewLen=I。在进行粘贴操作，字符长度每次增加copyNewLen变为j，当原dp[j]小于dp[i]+粘贴次数+1，更新dp[j]和copyLen[j]
3. 得到最终结果dp[n]并返回

状态转移方程：

dp[j]=min(dp[j], dp[i]+k1, dp[i]+k2+1)               // i<j, j>2, k1=(j-i)/copyLen[i], k2=(j-i)/i
                                                     
dp[j]=0                                              // j=0, 1
dp[j]=2                                              // j=2

完整题解代码：

class Solution {
    public int minSteps(int n)
    {
        if(n<=1)
        {
            return 0;
        }
        int[] dp=new int[n+1]; //用于动规的表，dp[i]记录打印出i个A需要的最少操作次数
        int[] copyLen=new int[n+1]; //用于记录长度为i的字符串拥有的被复制串长度
        dp[2]=2;
        copyLen[2]=1;
        for(int i=3;i<dp.length;i++)
        {
            dp[i]=Integer.MAX_VALUE;
        }
        for(int i=2;i<dp.length;i++)
        {
            //copyLen[i]=copyLen[i-1];
            //操作方法一：只用当前copyLen长度粘贴
            for(int j=i+copyLen[i],k=1;j<dp.length;j+=copyLen[i],k++)
            {
                int temp=dp[i]+k;
                if(temp<dp[j])
                {
                    dp[j]=temp;
                    copyLen[j]=copyLen[i];
                }
            }
            //操作方法二：复制当前字串后再粘贴
            int copyNowLen=i;
            for(int j=i+copyNowLen,k=2;j<dp.length;j+=copyNowLen,k++)
            {
                int temp=dp[i]+k;
                if(temp<dp[j])
                {
                    dp[j]=temp;
                    copyLen[j]=copyNowLen;
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

时间复杂度：两层遍历，O(n²)
空间复杂度：建立并维护两个一维表，O(n)

本题使用动态规划进行解决，维护一维表并遍历其中的元素，和大多数动规做法：根据表中其他值，使用一定策略计算更新当前遍历到的元素值不同的是，本题中遍历到的元素值在之前已经确定，是使用当前元素值计算更新其他（当前元素后面的、表中还没有遍历到的）元素值。这种思想和牛客网编程题：跳石板 解法相同。