可视化图像
回忆可视化一个图像的两种方法
灰度模式
二维数组
弥补差距
动机：我们想把图像可视化到足以保留人类洞察力的高度，但要低到足以让我们轻易地将自己的洞察力转化为数学符号，并最终转化为对数组进行运算的计算机算法。
作为曲面的图像
表面高度与像素灰度值成比例 ( 深=低，浅=高)
例子
这样的可视化如何帮助我们？
地形概念
基本概念：
上坡/下坡
等高线（海拔高度相同的曲线）
坡度
峰/谷（局部极值）
更多数学概念：
正切平面
法向量
曲率
梯度向量（偏导数向量）将帮助我们定义/计算所有这些。
数学例子：一维梯度
考虑函数 f(x) = 100 - 0.5 * x^2
梯度是df(x)/dx = - 2 × 0.5 × x = - x
几何解释：x0处的梯度是曲线在x0处切线的坡度
f(x) = 100 - 0.5 * x^2 df(x)/dx = - x
注意：点梯度的符号告诉你“上坡”的方向
数学例子：二维梯度
f(x,y) = 100 - 0.5 * x^2 - 0.5 * y^2
df(x,y)/dx = - x df(x,y)/dy = - y
Gradient = [df(x,y)/dx , df(x,y)/dy] = [- x , - y]
梯度是相对于x轴和y轴偏导数的向量
绘制为向量场，在每个像素点“上坡”的梯度向量
梯度表示最陡上升方向
在峰值梯度为0 (同样在任何平坦点和局部极小值，…但这个函数没有这些地方)
g=[gx,gy] ：点/像素(x0,y0)的梯度向量
向量g指向上坡（最陡上升方向）
向量-g指向下坡（最陡下降方向）
向量[gy，-gx]是垂直的，并且表示恒定高程的方向，也就是垂直于通过点（x0，y0）的等高线
图像梯度
二维图像梯度是同样的概念
基本函数是数值的（列表的），而不是代数的。所以需要数值导数。
数值导数
泰勒级数展开
移项整理：
有限前向差分
同样，泰勒级数展开
移项整理：
有限后向差分
类似的，泰勒级数展开
有限中心差分，更精准
例子：时间梯度
一个视频是一系列图像帧I(x,y,t)
每一帧有两个空间索引x，y以及一个时间索引t
考虑一段时间内在单个像素处观察到的强度值序列
例子：空间图像梯度
梯度的幅值
测量每个像素处的坡度的陡峭程度
梯度的角度atan2(Iy, Ix)
表示坡度方向的相似性
我们还能从图像中观察到什么？
在低对比度区域的增强细节 (比如大衣的褶皱，天空中的成像伪影)
下一节：线性操算子
梯度是一个线性算子的例子，也就是在某个像素上的值为相邻像素的线性组合。
