欧拉乘积公式的推导过程

关于欧拉乘积公式的由来

我们知道，早在古希腊时期，欧几里得（Eucl id）就用精彩的反证法证明了素数有无穷多个。随着数论研究的深入，人们很自然地对素数在自然数集上的分布产生了越来越浓厚的兴趣。1737年，著名瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）在俄国圣彼得堡科学院（St.Petersburg Academy）发表了一个极为重要的公式，为数学家们研究素数分布的规律奠定了基础。这个公式就是欧拉乘积公式，即
$\sum_{n} n^{-s}=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1}.$这个公式左边的求和对所有的自然数进行，右边的连乘积则对所有的素数进行。这个公式对所有 $Re(s)~＞~1$的复数s都成立。读者们想必认出来了，这个公式的左边正是大名鼎鼎的黎曼ζ函数在 $Re(s)~＞~1$时的级数表达式，而它的右边则是一个纯粹有关素数（且包含所有素数）的表达式，这样的形式正是黎曼ζ函数与素数分布之间存在关联的征兆。作为素数理论的基础公式，这个公式在很多地方都有提到过，那么下面我们来证明一下。

证明思路

由 $\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{7^s}+... \tag{1}$首先根据数学分析的相关理论，利用埃拉托色尼筛法，对等式两边同时乘以 $\frac{1}{2^s}$ 可以得到以下式子 $\frac{1}{2^s}\zeta(s)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}+\frac{1}{12^s}+\frac{1}{14^s},\tag{2}$可以看到分母中底数全变成了偶数！这样由式 $(1)-$式 $(2)$可得下式：
$(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+..., \tag{3}$含偶数的项全都消去了！
  令 $\zeta_1(s)=(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)$，则有
$\zeta_1(s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+..., \tag{4}$同理，对 $\zeta_1(s)$两边同时乘以 $\frac{1}{3^s}$ 可以得到下式：
$(1-\frac{1}{3^s})\zeta_1(s)=1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+..., \tag{5}$类似的运算进行了无穷多次之后，可以得到如等式：
$... (1-\frac{1}{13^s})(1-\frac{1}{11^s})(1-\frac{1}{7^s})(1-\frac{1}{5^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)=1 \tag{6}$把含素数的项移到右边可以改写成如下形式：
$\sum_{n} n^{-s}=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1},\tag{7}$证毕。值得注意的是，式 $(7)$成立的条件是 $\sum n^{-s}$收敛，即 $s>1$，否则将会出现一些矛盾的结论。

1. $-\infty=+\infty$
   若 $s=-1$，可以发现
   $\zeta(-1)=\sum_nn=1+2+3+4+5+6+7+8+9+...，\tag{8}$即全体自然数的和，式 $(8)$两边乘以 $2$可得
   $2\zeta(-1)=2+4+6+8+10+12+14+16+18+...，\tag{9}$式 $(8)-$式 $(9)$得
   $-\zeta=1+3+5+7+9...，\tag{10}$，仔细分析，式 $(10)$左边是全体自然数之和取负数，右边是全体奇数之和，两者竟然相等！

这里，笔者有个小疑问闪过心头，既然 $Re(s)>1$ 以上等式才得以成立，那么令无数数学家魂牵梦萦的黎曼猜想：

$\xi(s)$ 的所有零点都位于 $Re(s)=1/2$的直线上。

意义何在？欢迎感兴趣的朋友一起学习探讨。
总体感觉MarkDown编辑器可以嵌入漂亮的LaTeX公式，于是尝试着写了第一篇文章，效果非常棒，虽然语法还有很多地方需要熟悉，以后就用这个编辑器了，边写作边学习，不断提升写作水平~
[1]: http://meta.math.stackexchange.com/questions/5020/mathjax-basic-tutorial-and-quick-reference
[2]: https://mermaidjs.github.io/
[3]: https://mermaidjs.github.io/
[4]: http://adrai.github.io/flowchart.js/