对数公式推导过程

积、商、幂的对数

$log_{a}MN=log_{a}M + log_{a}N$ 的推导过程如下。

\begin{array}{ll} 证 明 ： 设 l o g_{a} M = p, l o g_{a} N = q \\ 则 a^{p} = M, a^{q} = N ， 代 入 l o g_{a} M N ， \\ 得 l o g_{a} M N = l o g_{a} (a^{p} \cdot a^{q}) = l o g_{a} a^{p + q} = p + q = l o g_{a} M + l o g_{a} N \\ 所 以 ： l o g_{a} M N = l o g_{a} M + l o g_{a} N \end{array}

$\begin{array}{ll} 证明：设log_{a}M=p,\quad log_{a}N=q \\ 则\quad a^p=M,\quad a^q=N ，\quad 代入log_{a}MN，\\ 得 \quad log_{a}MN=log_{a}(a^p\cdot a^q) = log_{a}a^{p+q} = p+q = log_{a}M + log_{a}N \\ 所以：log_{a}MN=log_{a}M + log_{a}N \end{array}$

$log_{a}{\Large\frac{M}{N}}= log_{a}M + log_{a}N$ 的推导过程如下。

\begin{array}{ll} 证 明 ： 设 l o g_{a} M = p, l o g_{a} N = q \\ 则 a^{p} = M, a^{q} = N ， 代 入 l o g_{a} \frac{M}{N} ， \\ 得 l o g_{a} \frac{M}{N} = l o g_{a} (\frac{a^{p}}{a^{q}}) = l o g_{a} a^{p - q} = p - q = l o g_{a} M - l o g_{a} N \\ 所 以 ： l o g_{a} \frac{M}{N} = l o g_{a} M - l o g_{a} N \end{array}

$\begin{array}{ll} 证明：设log_{a}M=p,\quad log_{a}N=q \\ 则\quad a^p=M,\quad a^q=N ，\quad 代入log_{a}{\frac{M}{N}}，\\ 得 \quad log_{a}{\frac{M}{N}}=log_{a}(\frac{a^p}{a^q}) = log_{a}a^{p-q} = p-q = log_{a}M - log_{a}N \\ 所以：log_{a}\frac{M}{N}=log_{a}M - log_{a}N \end{array}$

$log_aM^b=b\cdot log_aM$ 的推导过程

\begin{array}{ll} 证 明 ： 设 l o g_{a} M = p \\ 则 a^{p} = M ， 代 入 l o g_{a} M^{b} \\ 得 l o g_{a} M^{b} = l o g_{a} (a^{p})^{b} = l o g_{a} a^{p b} = p b = b \cdot l o g_{a} M \end{array}

$\begin{array}{ll} 证明：设log_aM=p \\ 则a^p=M ，\quad 代入log_aM^b \\ 得log_aM^b=log_a(a^p)^b = log_aa^{pb} = pb = b \cdot log_aM \end{array}$

$a^{log_aM} = M$ 的推导过程

\begin{array}{ll} 证 明 ： 设 l o g_{a} M = p \\ 则 a^{p} = M ， 代 入 a^{l o g_{a} M} \\ 得 a^{l o g_{a} M} = a^{l o g_{a} a^{p}} = a^{p} = M \end{array}

$\begin{array}{ll} 证明：设log_aM=p \\ 则a^p=M ，\quad 代入a^{log_aM} \\ 得a^{log_aM} = a^{log_aa^p} = a^p = M \end{array}$

换底公式

$log_bN=\Large\frac{log_aN}{log_ab}$ 的推导过程如下。

\begin{array}{ll} 证 明 ： 设 l o g_{b} N = x ， 则 b^{x} = N \\ 两 边 同 时 取 以 a 为 底 的 对 数 \\ l o g_{a} b^{x} = l o g_{a} N \\ x \cdot l o g_{a} b = l o g_{a} N \\ x = \frac{l o g_{a} N}{l o g_{a} b} \\ 所 以 l o g_{b} N = \frac{l o g_{a} N}{l o g_{a} b} \end{array}

$\begin{array}{ll} 证明：设log_bN=x，则b^x = N \\ 两边同时取以a为底的对数\\ log_a{b^x} = log_aN \\ x\cdot log_ab = log_aN \\ x = \frac{log_aN}{log_ab} \\ 所以log_bN=\frac{log_aN}{log_ab} \end{array}$

其他公式

$log_{a^n}a = \frac{1}{n}$ 的推导过程

\begin{matrix} 证 明 ： 设 l o g_{a^{n}} a = p \\ 则 (a^{n})^{p} = a 即 a^{n p} = a \\ 两 边 同 时 取 常 数 对 数, l g a^{n p} = l g a \\ n p \cdot l g a = l g a, n p = 1, p = \frac{1}{n} \\ 所 以 l o g_{a^{n}} a = \frac{1}{n} \end{matrix}

$\begin{array}{} 证明：设 log_{a^n}a = p \\ 则\quad (a^n)^p = a 即 a^{np} = a \\ 两边同时取常数对数,\quad lg{a^{np}}=lg{a} \\ np\cdot lga = lga, \quad np = 1,\quad p = \frac{1}{n} \\ 所以log_{a^n}a = \frac{1}{n} \end{array}$

${\Large \frac{1}{log_ab}} = log_ba$ 的推导过程。
这里用换底公式，过程比较简单

\frac{1}{l o g_{a} b} = \frac{1}{\frac{l g b}{l g a}} = \frac{l g a}{l g b} = l o g_{b} a

$\frac{1}{log_ab} = \frac{1}{\frac{lgb}{lga}}=\frac{lga}{lgb}=log_ba$

$log_{a^n}M = {\Large \frac{1}{n}} \cdot log_aM$ 的推导过程

证 明 ： 设 l o g_{a} M = p 则 a^{p} = M ， 代 入 l o g_{a^{n}} M l o g_{a^{n}} a^{p} = p \cdot l o g_{a^{n}} a = \frac{1}{n} \cdot p = \frac{1}{n} \cdot l o g_{a} M

$证明：设log_aM = p \\ 则a^p = M，代入log_{a^n}M \\ log_{a^n}a^p=p \cdot log_{a^n}a = \frac{1}{n} \cdot p = \frac{1}{n} \cdot log_aM$