很多数学对象可以通过将它们分解为多个组成部分或者找到他们的一些属性而更好的理解，这些属性是通用的，而不是由我们选择表示它们的方式产生的。
正如我们可以通过分解质因数来发现整数的一些内在性质，我们也可以通过分解矩阵来发现矩阵表示成数组元素时不明显的函数性质。
特征分解是使用最广的矩阵分解之一，即我们将矩阵分解为一组特征向量和特征值。方阵Ａ的特征向量是指与Ａ相乘后相当于对该向量进行缩放的非零向量v:
标量被称为这个特征向量对应的特征值。
如果v是A的特征向量，那么任何缩放后的向量也是A的特征向量。此外，v和sv有相同的特征值。因此，我们通常只考虑单位特征向量。
假设矩阵A有n个线性无关的特征向量，对应着特征值
。我们将特征向量连成一个矩阵，使得每一列是一个特征向量：
。类似的，我们也可以将特征值连接成一个向量
。因此，A的特征分解可以记作：
我们已经看到了构建具有特定特征值和特征向量的矩阵，能够使我们在目标方向上延伸空间。然而，我们也常常希望将矩阵分解为特征向量和特征值。这样可以帮助我们分析矩阵的特定性质，就像质因数分解有助于我们理解整数。
不是每一个矩阵都可以分解为特征值和特征向量。在某些情况下，特征分解存在，但是会涉及负数而非实数。具体来讲，每个实对称矩阵都可以分解为实特征向量和实特征值：
其中，Q是A的特征向量组成的正交矩阵，
虽然任意一个实对称矩阵A都可以特征分解，但是特征分解可以并不唯一。如果两个或多个特征向量拥有相同的特征值，那么由这些特征向量产生的生成子空间中，任意一组正交向量都是该特征值对应的特征向量。因此，我们可以等价的从这些特征向量中构成Q作为替代。按照惯例，我们通常按降序排列
矩阵的特征分解给了我们很多关于矩阵的有用信息。矩阵是奇异的当且仅当含有零特征值。实对称矩阵的特征分解也可用于优化二次方程
所有特征值都是正数的矩阵被称为正定；所有特征值都是非负数的矩阵被称为半正定。同样的，所有特征值都是负数的矩阵被称为负定；所有特征值都是非正数的矩阵被称为半负定。半正定矩阵受到关注是因为它们保证
