对于非方阵而言,其逆矩阵没有定义。假设在下列问题中,我们希望通过矩阵
的左逆
来求解线性方程,
等式两边左乘左逆 后,我们得到,
取决于问题的形式,我们可能无法设计一个唯一的映射将 映射到 。
如果矩阵 的行数大于列数,那么上述方程可能没有解。如果矩阵 的列数大于行数,那么上述方程可能有多个解。
Moore-Penrose伪逆使我们在这类问题上取得了一定的进展。矩阵 的伪逆定义为,
计算伪逆的算法没有基于这个定义,而是使用下面的公式,
其中,矩阵 , 和 是矩阵 经奇异值分解后得到的矩阵。对角矩阵 的伪逆 是其非零元素取倒数再经转置后得到的。
当矩阵 的列数多于行数时,使用伪逆求解线性方程是众多可能解法中的一种。特别的, 是方程所有可行解中欧几里德范数 最小的一个。
当矩阵 的行数多于列数时,可能没有解。在这种情况下,通过伪逆求得的 使得 和 的欧几里德距离 最小。