奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)可以被看做是方阵特征值分解的推广，适用于任意形状的矩阵。
对于矩阵$A\in \R^{m\times n}$，不失一般性，假设$m\geq n$，奇异值分解期望实现：
$A=U\Sigma V^T$
其中$U,V$分别为$m,n$阶正交矩阵，其中向量称为左/右奇异向量，$\Sigma$为非负主对角线元素降序排列的$m\times n$对角矩阵，称为奇异值矩阵。如下图所示：
如果$\Sigma$的秩为$r$，可以将矩阵的零略去，得到更紧凑的结果：
奇异值分解一定存在，可以通过构造相应的分解矩阵$U,\Sigma,V$来证明，具体证明看李航《统计学习方法》。证明过程中包含了运算，当然可以直接看更简洁明了的计算方式。简单来说就是计算$AA^T$和$A^TA$的特征值和对应的正交矩阵，用特征值的平方根组成为奇异值矩阵。
几何意义：在上面第一张图的情况下，对于向量$x$，变换$Ax=U\Sigma V^Tx$可以理解为先进行正交矩阵$V^T$的旋转变换，然后$\Sigma$缩放变换并映射到$m$维空间，最后进行$U$的旋转变换。
通常奇异值递减很快，因此可以取前几个较大奇异值忽略较小奇异值从而实现矩阵压缩。
矩阵的逆、左逆、右逆、伪逆，可以通过奇异值分解求得，看这里。其中逆矩阵只有满秩方阵才有，左逆只有列满秩矩阵才有，右逆只有行满秩矩阵时才有，伪逆则是在行列都不满秩时求解一个近似的逆矩阵。伪逆并不能将原始矩阵的操作完全恢复，会有信息丢失。行满秩也可以求右伪逆，列满秩也可以求左伪逆。
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