AcWing1299. 五指山

AcWing1299. 五指山

扩展欧几里得算法可以解决裴蜀定理

1. 所有解的形式是什么
2. 为什么一定是这种形式，可以使用反证法或者正推

首先我们要转化成一个同余方程：

\(x+a*d\equiv y\pmod n\)

然后展开：

\(x+a*d=b*n+y\)

把它转换成扩展欧几里得的形式：

\(a*d-b*n=y-x\)

然后运用扩展欧几里得算法算出\(a\)的一个解（扩展\((y-x)/gcd(d, n)\)倍）

算出一个解之后。根据紫书的定理。我们可以得出

最小正整数解为：

五指山那一题要求\(x = x_0 + k(\frac{n}{gcd(n,d)})\)的最小正整数，为什么是通过\((x_0 \% \frac{n}{gcd(n,d)} + \frac{n}{gcd(n,d)}) \% \frac{n}{gcd(n,d)})\)来求呢？

1. 原理：不论\(x_0\)是个多大或者多小的一个数字，它通过\(k*\frac{n}{gcd(n,d)}\)都能把这个数缩小到\(0 -\frac{n}{gcd(n,d)}\)之间
2. 因为这个\(x_0\)经过任意变换之后都能在\(0 -\frac{n}{gcd(n,d)}\)之间，所以我们求拿\(x_0\)对\(\frac{n}{gcd(n,d)}\)取正余数就好了

y总代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T -- )
    {
        LL n, d, x, y, a, b;
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &d, &x, &y);
        
        int gcd = exgcd(n, d, a, b);  // 求最大公约数顺便求其他的东西
        if ((y - x) % gcd) puts("Impossible");  // 左边能整除，右边不能整除说明矛盾了
        else
        {
            b *= (y - x) / gcd;
            n /= gcd;
            printf("%lld\n", (b % n + n) % n);
        }
    }
    
    return 0;
}

自己的代码

记得写longlong因为题目是\(x*10^9\)相乘很容易爆int

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(!b){x = 1, y = 0; return a;}
    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y = y - a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        LL n, d, x, y;
        LL a, b;
        cin >> n >> d >> x >> y;
        LL gcd = exgcd(d, n, a, b);
        if((y - x) % gcd != 0) cout << "Impossible" << endl;
        else
        {
            a = a * (y - x) / gcd;
            LL t = n / gcd;
            printf("%d\n", (a % t + t) % t);
        }
    }
    return 0;
}