Description
描述
给定一个由 $n$ 个点组成的严格凸多边形。你要将这个图形平移 $n$ 次，每次将一个顶点与原点 $(0,0)$ 重合。请判断这 $n$ 个平移后的多边形的并是否与原图形相似。
输入
第一行为一个正整数 $n$（$3 \le n \le 10^5$）。
接下来 $n$ 行，每行两个正整数 $x_i, y_i$（$|x_i|, |y_i| \le 10^9$），表示一个顶点。
在读入中，保证输入的点按逆时针顺序排列，形成严格凸多边形。
输出
一行一个 YES 或 NO。
样例
输入1
4
1 0
4 1
3 4
0 3输出1
YES
输入2
3
100 86
50 0
150 0输出2
NO
输入3
8
0 0
1 0
2 1
3 3
4 6
3 6
2 5
1 3输出3
YES
解释
样例2：
剩下两个见 Solution。
Solution
致和我一样没写过计算几何的人……
前置知识：闵可夫斯基和
「闵可夫斯基和」是两个欧几里得空间的点集的和，也称为这两个空间的「膨胀集」，以德国数学家闵可夫斯基命名。点集 $A$ 与 $B$ 的闵可夫斯基和被定义为：
$$ A+B = \{ a+b ~|~ a \in A, b \in B\} $$
例如，平面上有两个三角形，其坐标分别为 $A=\{(1,0),(0,1),(0,-1)\}$ 及 $B=\{(0,0),(1,1),(1,1)\}$ ，则其闵可夫斯基和为 $A + B = \{(1, 0), (2, 1), (2,1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0,1), (1, 0), (1,2)\}$。通俗一点，从原点向图形 $A$ 内部的每一个点做向量，将图形 $B$ 沿每个向量移动，所有的最终位置的并便是闵可夫斯基和（具有交换律）。
现在题目已经给了我们一个点集，就叫做 $S$ 吧。
对于 $(x, y) \in S$，我们要把它给平移到 $(0, 0)$ 去，就是要走一个 $(-x, -y)$，所有的在一起，便是 $-S$ 了。
然后我们发现，我们恰好是想要 从原点向图形 $-S$ 内部的每一个点做向量，将图形 $S$ 沿每个向量移动，所有的最终位置的并 这个图形，它正好就是 $S$ 与 $-S$ 的闵可夫斯基和！
然后呢，就可以爆干了。
当然这个做法不香，需要继续分析。
正常求一定是 $2n$ 条边，所以有边共线。然后我们发现，与 $S$ 相似的答案多边形，与 $S$ 的相似比恰好为 $2$！
这从样例中很容易看出来。
样例1：
样例3：
从图中很明显可以看出来，临边相等且共线，而且它来自 两个相邻多边形的同一条边，而这次的平移取决于 它对面的那条边。
- 不重合，说明对边与它相等；
- 共线，说明对边与它平行。
所以，这题就是让我们判断，这个图形是否 中心对称！
于是检查对应点连线的中点是否重合就行了。
时间复杂度 $\mathcal O(n)$。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
const double EPS = 1e-10;
double x[N], y[N];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
int n;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> x[i] >> y[i];
if(n & 1) { cout << "NO\n"; return 0; }
int mid = n >> 1;
double px = (x[1] + x[mid + 1]) / 2.0;
double py = (y[1] + y[mid + 1]) / 2.0;
bool ok = true;
for(int i = 2; i <= mid; i++)
{
double kx = (x[i] + x[mid + i]) / 2.0;
double ky = (y[i] + y[mid + i]) / 2.0;
if(fabs(px - kx) >= EPS || fabs(py - ky) >= EPS) ok = false;
}
if(ok) cout << "YES\n";
else cout << "NO\n";
return 0;
}