非线性方程的数值解法：二分法的MATLAB实现

非线性方程的数值解法之二分法：

• $摘要：$求解非线性方程 $f(x)=0$的数值解主要有二分法、简单迭代法以及 $Newton$类迭代法等，本文主要介绍二分法及其MATLAB程序实现。

• $二分法介绍^{[1]}$
  假设已找到有根区间[ $a$, $b$]，满足 $f(a)f(b)<0$，并且上述非线性方程在所给区间[ $a$, $b$]上只有一个根。下面用简单的方法形成有根区间的序列。先设 $a_1= a$， $b_1 = b$，即[ $a_1$, $b_1$] $=$ [ $a$, $b$]，对于一般的区间[ $a_n$, $b_n$]，设其中点为 $x_n$ $=$ $\dfrac{a_n+b_n}{2}$，若 $f(x_n)=0$或者 $\dfrac{b_n-a_n}{2}$ $<\varepsilon$，其中 $\varepsilon$为根的容许误差，则 $x_n$即为所求，否则检验 $f(x_n)$的符号，若它与 $f(a_n)$同号，就取 $a_{n+1}=x_n$， $b_{n+1}=b_n$。反之，取 $a_{n+1}=a_n$ ， $b_{n+1}=x_n$。这样必定有 $f(a_{n+1})f(b_{n+1})<0$，所以[ $a_{n+1}, b_{n+1}$]就是新的有根区间。继续上述过程即可。

• MATLAB $程序实现$

%Date:2019-10-28
%Writer:无名十三

%% 本程序目的是利用二分法输出非线性方程的数值解
function result = dichotomy(fun,x1,x2,eps) %参数fun为待输入函数，eps为容许误差，示例如下文
if nargin ~= 4
    errordlg('输入参数个数不符合要求！', 'Error!')  %参数输入报错
elseif fun(x1) * fun(x2) >= 0
    errordlg('二分法不能确定该区间内是否有根存在！', 'Warning!')
else
    is_eps = (x2-x1) / 2;
    x = (x2+x1) / 2;  
    while is_eps >= eps
        if fun(x) == 0
            fprintf('\n该方程的根为%f.\n\n', x)
            break
        elseif fun(x1)*fun(x) < 0
            x2 = x;
        elseif fun(x2)*fun(x) < 0
            x1 = x;
        end
        is_eps = (x2-x1) / 2;
        x = (x2+x1) / 2;        
    end
    if is_eps < eps
        fprintf('\n该方程的近似根为%f.\n\n', x)
    end
end
end
%%

• 示例1：求非线性方程 $sin(x)=0$在区间[-0.7, 0.1]上的数值解。

>> dichotomy(@(x)sin(x), -0.7, 0.1, 0.0001)

该方程的近似根为-0.000098.

• 示例2：求非线性方程 $9x^3-13x+97=0$在区间[-11, 29]上的数值解。

>> dichotomy(@(x)(9*x^3 - 13*x + 97), -11, 29, 0.0001)

该方程的近似根为-2.426163.

• $结束语：上述代码根据本人理解进行整理编写，如有错误或不妥之处，请指正！$

• $参考文献$
  $[1] 黄云清.数值计算方法[M].北京.科学出版社.2018年11月$