数值分析之插值的朗格朗日方法详解

数值分析之拉格朗日插值方法详解

数据点通用格式

$x_0$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
$y_0$	$y_1$	$y_2$	$\dots$	$y_n$

n=1，两个数据点

当 $n=1$，自由度为1，一个未知数表示直线拟合
数据点两个

$x_0$	$x_1$
$y_0$	$y_1$

系数方程如下：
$l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}$
$l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$
拟合多项式为： $P_1(x)=y_0{l}_0(x)+y_1{l}_1(x)$

n=2，三个数据点

当 $n=2$，自由度为2，2个未知数表示二次多项式拟合
数据点3个

$x_0$	$x_1$	$x_2$
$y_0$	$y_1$	$y_2$

系数方程如下：
$l_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$
$l_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$
$l_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$
拟合多项式为： $P_1(x)=y_0{l}_0(x)+y_1{l}_1(x)+y_2{l}_2(x)$

n=3，四个数据点

当 $n=3$，自由度为3，3个未知数表示3次多项式拟合
数据点4个

$x_0$	$x_1$	$x_2$	$x_3$
$y_0$	$y_1$	$y_2$	$y_3$

系数方程如下：
$l_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}$
$l_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}$
$l_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}$
$l_3(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}$
拟合多项式为： $P_1(x)=y_0{l}_0(x)+y_1{l}_1(x)+y_2{l}_2(x)+y_3{l}_3(x)$

$n=i$，通项公式

数据点共 $n+1$个

$x_0$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_{i-1}$	$x_i$	$x_{i+1}$	$\dots$	$x_n$
$y_0$	$y_1$	$y_2$	$\dots$	$y_{i-1}$	$y_i$	$y_{i+1}$	$\dots$	$x_n$

系数方程：

$$\begin{array}{rcl}{l}_i(x)& =& \frac{(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots (x-x_n)}{(x_i-x_0)(x_i-x_1)\dots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_n)}\\ & =& \underset{j=0,j\ne i}{\overset{n}{\prod }}\frac{x-x_i}{x_i-x_j}.\end{array}$$

其中 $i=0,1,\dots ,n$。
拟合多项式为：

$$P_n(x)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{y}_i{l}_i(x)$$