前言
适用范围
①当数列中常含有\((-1)^k\)或者\((-1)^{k+1}\)等符号数列，则其项常常体现为正负项间隔出现，此时常常常两项(或三项等)并成一组，然后求和；
②当数列中常含有\((-1)^k\)或者\((-1)^{k+1}\)等符号数列时，还可以考虑将数列认为的分组为奇数项数列和偶数项数列，然后分组求和；
③当数列中含有\(a_n+a_{n+1}=f(n)\)的形式，或者\(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=f(n)\)的形式，可以考虑并项求和。
相关公式
①等差数列的\(S_n=\cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\cfrac{n(n-1)\cdot d}{2}\)
②等比数列的\(S_n=\left\{\begin{array}{l}{na_1，q=1}\\{\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1-a_nq}{1-q}，q\neq 1}\end{array}\right.\)
③\(1+2+3+\cdots+ n=\cfrac{n(n+1)}{2}\)；
④\(1+3+5+\cdots +(2n-1)=\cfrac{[1+(2n-1)]\cdot n}{2}=n^2\)，注意求和项数为\(n\)项；
⑤\(2+4+6+\cdots +2n=\cfrac{(2+2n)\cdot n}{2}=n^2\)，注意求和项数为\(n\)项；
⑥\(1^2+2^2+3^2+\cdots+ n^2=\cfrac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\)；
⑦\(1^3+2^3+3^3+\cdots+ n^3=[\cfrac{n(n+1)}{2}]^2\)；
⑧由\(a_{n+2}-a_n=2\)可知，数列中奇数项成等差，公差为\(2\)；偶数项成等差，公差为\(2\)；
⑨由\(\cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2\)可知，数列中奇数项成等比，公比为\(2\)；偶数项成等比，公比为\(2\)；
运算技巧
①指数运算：
②利用等差数列求项数：
由\(a_n=a_1+(n-1)\cdot d\)，可得项数\(n=\cfrac{a_n-a_1}{d}+1\)，推广得到项数\(n=\cfrac{a_n-a_m}{d}+m\)，
如数列\(2^1，2^3，2^5，\cdots ，2^{2n-1}\)的项数的计算，其项数可以利用上标来计算，其上标刚好成等差数列，
项数\(r=\cfrac{a_n-a_1}{d}+1=\cfrac{(2n-1)-1}{3-1}+1=n\)；
典例剖析
法1：并项求和法，由于题目中有\(n\)次方，故针对\(n\)分奇偶讨论如下：
①当\(n\)为奇数时，则\(n+1\)为偶数，
由题目可知\(a_{n+1}-a_n=2n-1\)，\(a_{n+2}+a_{n+1}=2n+1\)，
两式相减，得到\(a_{n+2}+a_n=2\)，即奇数项为等和数列；
故前\(60\)项中的所有奇数项之和为
\(S_{奇}=(a_1+a_3)+(a_5+a_7)+\cdots+(a_{57}+a_{59})=15\times 2=30\)；
②当\(n\)为偶数时，则\(n+1\)为奇数，
由题目可知\(a_{n+1}+a_n=2n-1\)，则\(a_{n+2}-a_{n+1}=2n+1\)，
两式相加，得到\(a_{n+2}+a_n=4n\)，即每相邻两偶数项之和为等差数列；
故前\(60\)项中的所有偶数项之和为
\(S_{偶}=(a_2+a_4)+(a_6+a_8)+\cdots+(a_{58}+a_{60})\)
\(=4\times 2+4\times 6+4\times 10+\cdots+4\times 58\)
\(=4(2+6+10+\cdots+58)\)
\(=4\times\cfrac{(2+58)\times 15}{2}=1800\)；
故\(S_{60}=1800+30=1830\)。
分析：若数列中包含因子\((-1)^n、(-1)^{n-1}\)，一般和并项求和法建立关联，如\(S_n=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot n\)，外加针对\(n\)的奇偶讨论。
解析：
当\(n\)为偶数时，\(S_n=1-2+3-4+5-6+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot n\)
\(=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+[(n-1)-n]\)，
\(=(-1)\times \cfrac{n}{2}\)；
当\(n\)为奇数时，\(S_n=1-2+3-4+5-6+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot n\)
\(=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+[(n-2)-(n-1)]+n\)，
\(=(-1)\times \cfrac{n-1}{2}+n=\cfrac{n+1}{2}\)；
法1：采用分组求和法转化如下，
\(S=-(1^2+3^2+5^2+\cdots+99^2)+(2^2+4^2+6^2+\cdots+100^2)\)，
这样转化后，基于学生的学习实际，此思路基本停滞；
法2：采用并项求和法，转化如下
\(S=-1^2+2^2-3^2+4^2+\cdots-99^2+100^2\)
\(=100^2-99^2+98^2-97^2+\cdots+2^2-1^2\)，
\(=(100-99)(100+99)+(98-97)(98+97)+\cdots+(2-1)(2+1)\)
\(=(100+99)+(98+97)+\cdots+(2+1)=5050\)
分析：由已知可得，当\(n=2\)时，\(a_2+a_3=\cfrac{1}{2^2}\)，\(n=4\)时，\(a_4+a_5=\cfrac{1}{2^4}\)，
\(S_{2n+3}=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+\cdots+(a_{2n}+a_{2n+1})+(a_{2n+2}+a_{2n+3})\)
\(=1+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{2^4}+\cfrac{1}{2^6}+\cdots+\cfrac{1}{2^{2n}}+\cfrac{1}{2^{2n+2}}\)
\(=(\cfrac{1}{2})^0+(\cfrac{1}{2})^2+(\cfrac{1}{2})^4+(\cfrac{1}{2})^6+\cdots+(\cfrac{1}{2})^{2n}+(\cfrac{1}{2})^{2n+2}\)
\(=\cfrac{1-[(\cfrac{1}{2})^2]^{n+2}}{1-(\cfrac{1}{2})^2}\)
\(=\cfrac{4}{3}(1-\cfrac{1}{4^{n+2}})\)；
说明：本题中的项数求法，项数\(r=\cfrac{(2n+2)-0}{2}+1=n+2\)。