前言
一、基础
二、常见构造
- ①基本型 \(a_{n+1}=pa_n+q(p\neq 0，1；q\neq 0)\)；
思路：两边同时加上常数\(k\)，构造等比数列\(a_{n+1}+k=p(a_n+k)\)求解；其中\(k=\cfrac{q}{p-1}\)；
- ②\(a_{n+1}=pa_n+q^n\)型；
思路：两边同时除以\(q^{n+1}\)，得到\(\cfrac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\cfrac{p}{q}\cdot \cfrac{a_{n}}{q^{n}}+\cfrac{1}{q}\)，即\(b_{n+1}=mb_n+h\)，转化为上述类型①；
- ③\(a_{n+1}=\cfrac{pa_n}{a_n+q}\)型；
思路：两边同时取倒数，转化为类型①求解；
- ④\(a_{n+1}=pa_n+qn+r(p\neq 0，1；q\neq 0；r\neq 0)\)型；【了解】
思路：构造等比数列，令\(a_{n+1}+x(n+1)+y=p(a_n+xn+y)\)，利用两个多项式相等，对应系数相等求得\(x\)、\(y\)，利用等比数列求解；
- ⑤\(a_{n+1}=a_n^r(r\in N^*)\)型；
思路：两边同时取对数，构造等比数列求解；
- ⑥\(a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n\)型；
思路：转化为\(a_{n+2}-sa_{n+1}=p(a_{n+1}-sa_n)\)，其中\(\left\{\begin{array}{l}{s+t=p}\\{st=-q}\end{array}\tight.\)；