分组求和法

前言

适用范围

把数列中的每一项都能拆分成两项或者几项之代数和，然后有效分组[比如所有奇数项为一组，所有偶数项为另一组]，转化为等差求和或等比求和类型，或能知道求和公式[不一定是等差或等比]的类型；

比如数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=(2n-1)+\cfrac{1}{3^n}\)，此时需要我们具备将数列竖行看的能力；

\[a_1=(2\times1-1)+\cfrac{1}{3^1}\]

\[a_2=(2\times2-1)+\cfrac{1}{3^2}\]

\[ \cdots，\cdots \]

\[a_n=(2\times n-1)+\cfrac{1}{3^n}\]

\[\quad\quad\quad\quad 此列等差\quad\quad\quad 此列等比\]

相关公式

①等差数列的\(S_n=\cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\cfrac{n(n-1)\cdot d}{2}\)

②等比数列的\(S_n=\left\{\begin{array}{l}{na_1，q=1}\\{\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1-a_nq}{1-q}，q\neq 1}\end{array}\right.\)

③\(1+2+3+\cdots+ n=\cfrac{n(n+1)}{2}\)；

④\(1+3+5+\cdots +(2n-1)=\cfrac{[1+(2n-1)]\cdot n}{2}=n^2\)，注意求和项数为\(n\)项；

⑤\(2+4+6+\cdots +2n=\cfrac{(2+2n)\cdot n}{2}=n^2\)，注意求和项数为\(n\)项；

⑥\(1^2+2^2+3^2+\cdots+ n^2=\cfrac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\)；

⑦\(1^3+2^3+3^3+\cdots+ n^3=[\cfrac{n(n+1)}{2}]^2\)；

⑧由\(a_{n+2}-a_n=2\)可知，数列中奇数项成等差，公差为\(2\)；偶数项成等差，公差为\(2\)；

⑨由\(\cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2\)可知，数列中奇数项成等比，公比为\(2\)；偶数项成等比，公比为\(2\)；

运算技巧

①指数运算：

$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$

$2^n+2^n=2^{n+1};$

$2^{n+1}-2^n=2^n;$

$2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$；

$2^{n+1}+2^n=3\cdot 2^n$；

$2^{-(n+1)}\cdot 2=2^{-n}$；

$2^n\cdot 2^n=2^{2n}$；

$3^{n-1}-3^n=-2\cdot 3^{n-1}$；

$2^{n+1}÷2^n=2;$

$\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2^{n+1}}$；

$3^{n-1}\cdot 3^n=3^{2n-1}$；

$2^{n+1}\cdot 2^n=2^{2n+1};$

②利用等差数列求项数：

由\(a_n=a_1+(n-1)\cdot d\)，可得项数\(n=\cfrac{a_n-a_1}{d}+1\)，推广得到项数\(n=\cfrac{a_n-a_m}{d}+m\)，

如数列\(2^1，2^3，2^5，\cdots ，2^{2n-1}\)的项数的计算，其项数可以利用上标来计算，其上标刚好成等差数列，

项数\(r=\cfrac{a_n-a_1}{d}+1=\cfrac{(2n-1)-1}{3-1}+1=n\)；