第六章 特殊的图 6.1 二部图

6.1 二部图

本节大多都是概念的引入，我就用我自己的话去记录了。

• 二部图（偶图）：我们将图里的点分为两个集合 $V_1$, $V_2$后，每一条边的端点分别属于 $V_1$, $V_2$。我们将二部图记做 $G$ = < $V_1$, $V_2$, $E$>。其中 $V_1$, $V_2$称为互补顶点子集。
• 当二部图中 $V_1$的每一个顶点到 $V_2$的每一个顶点均有且仅有一条边相关联，则称其为完全二部图（完全二部图）。当 $|V_1| = n$, $|V_2| = m$ 时，完全二部图记做 $K_{n,m}$。

判断一个图是否为二部图的方法：
当且仅当图中没有长度为奇数的回路。

eg：

是二部图但不是完全二部图。因为上面的一个点没有与下面的每一个点关联。

• 判断是不是二部图的时候我们把注意力放在边上。
• 判断是不是完全二部图的时候我们把注意力放在点上。

这两个图是同构的，是二部图也是完全二部图。

这个图不是二部图。图里有一个三角形，所以存在长度为3（奇数）的回路。故不是二部图。

---

• 在所有边中取子集 $M$，若边集 $M$中的边两两不相邻，则边集 $M$为图的匹配。
• 若再往 $M$里添一条边就不是匹配了，那么 $M$是图的极大匹配。
• $M$中边数最多的匹配称为最大匹配。
• 最大匹配中边的条数称为匹配数。
• 若 $M$中的边与点 $v_i$关联，则 $v_i$为 $M$的饱和点，否则称为非饱和点。
• 若图中每一个点都是饱和点，则称 $M$是完美匹配。（简单来说就是 $M$中的边包含了所有点就是完美匹配）（再简单说就是如果 匹配数 X 2 = 图中点数，那么是完美匹配）

eg：

匹配：{ $e_1$}，{ $e_1$, $e_7$} 等等
极大匹配：{ $e_5$}，{ $e_1$, $e_7$}，{ $e_2$, $e_6$}，{ $e_3$, $e_7$}，{ $e_4$, $e_6$}
最大匹配：{ $e_1$, $e_7$}，{ $e_2$, $e_6$}，{ $e_3$, $e_7$}，{ $e_4$, $e_6$}
匹配数：2
无完美匹配：因为 $M$中的点必为偶数个，而此图中的点为奇数个。

匹配：{ $e_1$}，{ $e_7$} 等等
极大匹配：{ $e_2$, $e_5$}，{ $e_3$, $e_6$}，{ $e_1$, $e_7$, $e_4$}，{ $e_2$, $e_6$, $e_4$}
最大匹配：{ $e_1$, $e_7$, $e_4$}，{ $e_2$, $e_6$, $e_4$}
匹配数：3
3 x 2 = 6 == 6，所以是完美匹配

---

在二部图 $G$ = < $V_1$ , $V_2$ , $E$ > 中 ， $|V_1|$ $\leq$ $|V_2|$ ， $M$ 为 $G$ 中一个最大匹配，若 $|M|$ = $|V_1|$ ，则称 $M$ 为 $G$ 中 $V_1$ 到 $V_2$的完备匹配。当 $|V_1|$ = $|V_2|$时，完备匹配是完美匹配。

eg1：

如图：
{ $e_1$, $e_2$}为最大匹配，无完备匹配，更无完美匹配。

eg2：

{ $e_1$, $e_2$, $e_3$}是此图的最大匹配，其是完备匹配，但是不是完美匹配。

eg3：

{ $e_1$, $e_2$, $e_3$}是此图的最大匹配，其是完备匹配也是完美匹配。

Hall 定理：设二部图 $G$ = < $V_1$ , $V_2$ , $E$ > 中 ， $|V_1|$ $\leq$ $|V_2|$ ， $G$ 中存在从 $V_1$ 到 $V_2$的完备匹配当且仅当 $V_1$ 中任意 k 个顶点至少邻接 $V_2$ 中的 k 个顶点。

证明的时候有用，先在这里记一下。

练习：

解析：
有 m+n行，mn列。